Agregue el vector AA al vector BB que se muestra en la Figura 5.25, utilizando los pasos anteriores. El eje X está a lo largo de la dirección este-oeste, y el eje Y está a lo largo de las direcciones norte-sur. Una persona camina por primera vez 53.0 m53.0 m en una dirección 20.0 ° 20.0 ° al norte del este, representada por el vector A.A. Luego, la persona camina 34.0 m34.0 m en una dirección 63.0 ° 63.0 ° al norte del este, representada por el vector B.B.
Los componentes de AA y BB a lo largo de los ejes X e Y representan caminar hacia el este y hacia el norte para llegar al mismo punto final. Resolveremos estos componentes y luego los agregaremos en la dirección X y la dirección Y para encontrar el resultado.
Primero, encontramos los componentes de AA y BB a lo largo de los ejes X e Y. Del problema, sabemos que a = 53.0 m, a = 53.0 m, θa = 20.0∘, θa = 20.0∘, bb = 34.0 m34.0 m y θb = 63.0∘θb = 63.0∘. Encontramos los componentes X usando ax = acosθax = acosθ, que da
Ahora podemos encontrar la magnitud del resultado utilizando el teorema pitagórico
Este ejemplo muestra la adición de vectores utilizando el método analítico. La sustracción vectorial utilizando el método analítico es muy similar. Es solo la adición de un vector negativo. Es decir, a – b≡A+( – b) a – b≡A+( – b). Los componentes de – BB son los negativos de los componentes de BB. Por lo tanto, los componentes x e y del resultado A- B = RA- B = R son
y el resto del método descrito anteriormente es idéntico al de la adición.
¿Cuál es la magnitud de un vector cuyo componente X es 4 cm y cuyo componente Y es de 3 cm?
¿Cómo resolver problemas de vectores con el método analítico?
Para demostrar el uso del método analítico de adición de vectores, nosotros
limitarnos a 2 dimensiones. Definir un sistema de coordenadas con un eje X y
eje y (ver Figura 3.5). Siempre podemos encontrar 2 vectores,
y ,
cuya suma vectorial es igual a
.
Estos dos vectores,
y ,
se llaman los componentes de
,
y por definición satisface la siguiente relación:
Supongamos que [theta] es el ángulo entre el vector
y el eje x. Los 2 componentes de
se definen de tal manera que su dirección esté a lo largo del eje X y el eje y. los
La longitud de cada uno de los componentes ahora se puede calcular fácilmente:
Nota: En contraste con Halliday, Resnick y Walker que usamos
y
Para indicar los vectores unitarios a lo largo del eje x e y, respectivamente (Halliday,
Resnick y Walker usan I, J y K que es más difícil de
escribe). La descomposición del vector
en 2 componentes no es inequívoco. Depende de la elección del
Sistema de coordenadas (ver Figura 3.6).
Aunque la descomposición de un vector depende del sistema de coordenadas
elegido, las relaciones entre los vectores no se ven afectadas por la elección del
sistema de coordenadas (por ejemplo, si dos vectores son perpendiculares en uno
Sistema de coordenadas, son perpendiculares en cada sistema de coordenadas). los
La física (y la relación entre las cantidades físicas) tampoco se ve afectada por
la elección del sistema de coordenadas, y generalmente elegimos la coordenada
sistema de tal manera que nuestros problemas se pueden resolver más fácilmente. Esto ya era
demostrado en el Capítulo 2, donde estaba el origen del sistema de coordenadas
generalmente definido como la posición del objeto en el tiempo t = 0. en dos o tres
dimensiones, generalmente podemos elegir el sistema de coordenadas de modo que uno de los
Los vectores coinciden con uno de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, si el
El sistema de coordenadas se define de tal manera que la dirección de
está a lo largo del eje x, los componentes de
son:
Figura 3.6. Descomposición del vector
en diferentes sistemas de coordenadas.
¿Qué es el método analítico en vectores?
Agregue el vector ( mathbf {a} ) al vector ( mathbf {b} ) que se muestra en la figura a continuación, utilizando componentes perpendiculares a lo largo de los ejes x– e y. Los ejes X- e Y están a lo largo de las direcciones este-oeste y norte-sur, respectivamente.
Vector ( mathbf {a} ) representa la primera etapa de una caminata en la que una persona camina ( text {53} text {.} Text {0 m} ) en una dirección ( text { 20} text {.} 0 text {º} ) al norte del este. Vector ( mathbf {b} ) representa el segundo tramo, un desplazamiento de ( text {34} text {.} Text {0 m} ) en una dirección ( text {63} text {.} 0 text {º} ) al norte del este.
Vector ( mathbf {a} ) tiene magnitud ( text {53} text {.} Text {0 m} ) y dirección ( text {20} text {.} 0º ) norte del eje x. Vector ( mathbf {b} ) tiene magnitud ( text {34} text {.} Text {0 m} ) y dirección ( text {63} text {.} 0 text { º} ) al norte del eje x. Puede usar métodos analíticos para determinar la magnitud y dirección de ( Mathbf {r} ).
Los componentes de ( mathbf {a} ) y ( mathbf {b} ) a lo largo de los ejes x– e y representan caminar hacia el este y el norte para llegar al mismo punto final. Una vez encontrados, se combinan para producir el resultante.
Siguiendo el método descrito anteriormente, primero encontramos los componentes de ( mathbf {a} ) y ( mathbf {b} ) a lo largo de los ejes x– e y. Tenga en cuenta que (a = 53.0 m text {} ), ({ theta} _ { text {a}} = 20.0º ), (b = 34.0 m text {} ) y ({ theta} _ { text {b}} = 63.0º ). Encontramos los componentes X usando ({a} _ {x} = a phantom { rule {0.25em} {0ex}} text {cos} phantom { regla {0.25em} {0ex}}} theta ), que da
¿Qué es un método analítico en vectores?
Las ecuaciones ax = acosθax = acosθ y ay = asinθay = asinθ se usan para encontrar los componentes perpendiculares de un vector, es decir, para pasar de aa y θθ a axax y ayay. Las ecuaciones a = ax2+ay2a = ax2+ay2 y θ = tan – 1 (ay/ax) θ = tan – 1 (ay/ax) se usan para encontrar un vector de sus componentes perpendiculares, que es, para ir de Axax y Ayay a aa y θθ. Ambos procesos son cruciales para los métodos analíticos de adición de vectores y resta.
Para ver cómo agregar vectores utilizando componentes perpendiculares, considere la Figura 3.28, en las que se agregan los vectores AA y BB para producir el RR resultante.
Si AA y BB representan dos patas de una caminata (dos desplazamientos), entonces RR es el desplazamiento total. La persona que toma la caminata termina en la punta de R.R. Hay muchas maneras de llegar al mismo punto. En particular, la persona podría haber caminado primero en la dirección X y luego en la dirección Y. Esos caminos son los componentes X e Y de los resultantes, RXRX y Ryry. Si lo sabemos
Rxrx y ryry, podemos encontrar
RR y
θθ usando las ecuaciones
A = ax2+ay2a = ax2+ay2 y
θ = Tan – 1 (Ay/Ax) θ = Tan – 1 (Ay/Ax). Cuando utiliza el método analítico de adición de vectores, puede determinar los componentes o la magnitud y dirección de un vector.
Paso 1. Identifique los ejes x e y que se utilizarán en el problema. Luego, encuentre los componentes de cada vector que se agregarán a lo largo de los ejes perpendiculares elegidos. Usa las ecuaciones
Ax = acosθax = acosθ y
Ay = asinθay = asinθ para encontrar los componentes. En la Figura 3.29, estos componentes son
Axax,
Ay ay,
Bxbx y
Byby. Los ángulos que los vectores AA y BB fabrican con el eje x son θaθa y θbθb, respectivamente.
¿Cómo se resuelve el método analítico?
Mientras que existen varios métodos centrados en la rotación de la muestra para obtener espectros de RMN de estado sólido de alta resolución, en algunos casos la magnitud de las interacciones anisotrópicas presentes puede ser tal que los métodos de alta resolución son ineficaces y simplemente dan como resultado un linaje cada vez más complejo. Esto es particularmente cierto para los espectros de RMN de los núcleos cuadrupolares, para los cuales incluso la CT Lineshape puede extenderse más de varios cientos de kilohertz para núcleos con grandes momentos o sistemas cuadrupolo con grandes EFGs.20 En estos casos, puede ser más informativo simplemente adquirir los adquirir simplemente adquirir el Patrón de polvo estático ampliado Linesis, de la cual se puede extraer información sobre las magnitudes y las asimetrías de las interacciones presentes. Sin embargo, la adquisición de las amplias pausas de linaje encontradas para muestras estáticas plantea desafíos prácticos. En general, las constantes de descomposición de T2 cortas de lineas muy amplias significan que gran parte de la señal de RMN se pierde durante el «tiempo muerto» entre el pulso de excitación y el comienzo de la adquisición de la señal. Esto requiere el uso de secuencias de eco que reenfocan la señal de RMN en un momento posterior en el tiempo para que se pueda adquirir por completo.31 Para i = 1/2 núcleos, los espectros estáticos pueden proporcionar información sobre la interacción CSA (con cualquier acoplamiento dipolar fuerte generalmente eliminado usando desacoplamiento). Para los núcleos con el número cuántico de giro i> 1/2, los espectros estáticos se usan típicamente para extraer información sobre la interacción cuadrupolar, aunque a menudo es necesario tener en cuenta la interacción CSA si también está presente, junto con la orientación relativa de los dos tensores cuando Ajuste de la linaza espectral. La única forma práctica de hacer esto es adquirir espectros en múltiples campos, por lo que las contribuciones de las interacciones cuadrupolar y CSA a la diagrama de enlace se pueden separar debido a sus dependencias opuestas en el campo magnético.
La ampliación extensa de las pausas de enlace de RMN en ciertos sistemas puede plantear desafíos de sensibilidad, ya que la señal de RMN aparece en un amplio rango de frecuencia, lo que resulta en una reducción considerable en la intensidad. Se pueden utilizar varias técnicas para abordar este problema, especialmente el enfoque Carr -Purcell -Meiboom -Gill (CPMG), 32,33 que constituye un «tren» de pulsos de reenfoque durante la adquisición para que se puedan adquirir muchas señales de eco de un único transitorio experimental. La transformación de Fourier de la señal del tren CPMG Echo produce un colector de «espigotera», por el cual las espigas están separadas por la inversa de la duración del eco utilizada en el experimento. Este método de «enfocar» la señal en resonancias estrechas significa que se pueden lograr aumentos significativos de señal a ruido. También se han desarrollado otros métodos para la mejora de la señal, en particular barrido de doble frecuencia34,35 y los pulsos secantes hiperbólicos36 pueden lograr la mejora de la señal CT para los núcleos cuadrupolares medio enteros mediante el uso de pulsos de RF para manipular las poblaciones de nivel de energía.
Además de las implicaciones de sensibilidad de las amplias resonancias, la excitación uniforme a través de la forma de la línea también puede ser un problema. Esto ha sido superado tradicionalmente por el llamado enfoque de espectroscopía acumulada (VOC) de desplazamiento variable, 20,37 por el cual los «segmentos» sucesivos de la forma de enlace se adquieren por separado cambiando la frecuencia del transmisor en cada paso y luego se suman para producir el rendimiento de los espectro completo. Si bien es simple, este enfoque puede llevar mucho tiempo e intensivo en mano de obra, debido al requisito de volver a ajustar la sonda de RMN en cada paso a través de la forma de la línea. Este problema se ha abordado recientemente por la implementación de la velocidad uniforme de banda ancha y los pulsos de truncamiento suaves, 38,39 que permiten la excitación uniforme a través del ancho de banda de la sonda de RMN. De esta manera, se pueden adquirir líneas muy amplias en una sola adquisición.
¿Cómo resolver Analiticamente un vector?
Primero resuelvamos la ecuación dada para el vector desconocido [látex] sobremarsion { a} {c} [/latex]. Luego sustituimos [látex] overset { a} {a} [/latex] y [latex] overset { a} {b} [/latex]; Agrupe los términos a lo largo de cada una de las tres direcciones [látex] hat {i} [/latex], [latex] hat {j} [/latex] y [latex] hat {k} [/latex]; e identifique los componentes escalares [látex] {c} _ {x} [/latex], [latex] {c} _ {y} [/latex] y [latex] {c} _ {z} [/latex] . Finalmente, sustituimos en (figura) para encontrar magnitud C.
Comenzando en un albergue de esquí, un esquiador de fondo va a 5.0 km al norte, luego a 3.0 km al oeste y finalmente a 4.0 km al suroeste antes de descansar. Encuentre su vector de desplazamiento total en relación con el albergue cuando está en el punto de descanso. ¿Hasta dónde y en qué dirección debe esquiar desde el resto para regresar directamente al albergue?
Suponemos un sistema de coordenadas rectangulares con el origen en el Ski Lodge y con el vector unitario [látex] hat {i} [/latex] apuntando hacia el este y el vector unitario [látex] hat {j} [/latex] apuntando hacia el norte . Hay tres desplazamientos: [latex] { overset { a} {d}} _ {1} [/latex], [latex] { overset { a} {d}} _ {2} [/latex] , y [látex] { overset { a} {d}} _ {3} [/latex]. Identificamos sus magnitudes como [látex] {d} _ {1} = 5.0 , text {km} [/latex], [latex] {d} _ {2} = 3.0 , text {km} [/ latex], y [látex] {d} _ {3} = 4.0 , text {km} [/latex]. Identificamos sus direcciones son los ángulos [látex] { theta} _ {1} = 90 text {°} [/latex], [latex] { theta} _ {2} = 180 text {°} [//// latex], y [latex] { theta} _ {3} = 180 text {°} +45 text {°} = 225 text {°} [/latex]. Resolvemos cada vector de desplazamiento a sus componentes escalares y sustituimos los componentes en (figura) para obtener los componentes escalares del desplazamiento resultante [látex] overset { a} {d} [/látex] de la alojamiento al punto de descanso. En el camino de regreso desde el punto de descanso al Lodge, el desplazamiento es [látex] Overset { a} {b} = text { -} overset { a} {d} [/latex]. Finalmente, encontramos la magnitud y la dirección de [látex] overset { a} {b} [/latex].
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