Este artículo fue coautor de Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos es profesor asistente de matemáticas en la Universidad Estatal de California, Fresno. Con más de ocho años de experiencia docente, Mario se especializa en biología matemática, optimización, modelos estadísticos para la evolución del genoma y la ciencia de los datos. Mario posee una licenciatura en matemáticas de la Universidad Estatal de California, Fresno, y un Ph.D. en matemáticas aplicadas de la Universidad de California, Merced. Mario ha enseñado tanto a nivel de secundaria como universitaria.
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Una puntuación Z le permite tomar cualquier muestra dada dentro de un conjunto de datos y determinar cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media es. [1] Fuente de XResearch. Para encontrar la puntuación Z de una muestra, deberá encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. Para calcular el puntaje Z, encontrará la diferencia entre un valor en la muestra y la media, y dividirlo por la desviación estándar. Aunque hay muchos pasos para este método de principio a fin, es un cálculo bastante simple.
- √0.55 = 0.741619848709566. A menudo obtendrá una figura decimal muy grande cuando calcule este paso. Está bien redondear al segundo o tercer lugar decimal para su cifra de desviación estándar. En este caso, podría usar 0.74.
- Usando una figura redondeada, la desviación estándar en nuestra muestra de alturas de árboles es 0.74
- Recuerde, una puntuación Z es una medida de cuántas desviaciones estándar se encuentra un punto de datos de la media.
- En la fórmula X representa la figura que desea examinar. Por ejemplo, si quisiera averiguar cuántas desviaciones estándar 7.5 era de la media en nuestro ejemplo de alturas de árbol, enchufaría 7.5 para x en la ecuación.
- En la fórmula, μ significa la media. En nuestra muestra de alturas de árboles, la media fue de 7.9.
- En la fórmula, σ significa la desviación estándar. En nuestra muestra de alturas de árboles, la desviación estándar fue de 0.74.
Para calcular una puntuación Z, comience calculando la media o promedio de su conjunto de datos. Luego, reste la media de cada número en el conjunto de datos, cuadre las diferencias y agrégalas todas juntas. Luego, divida ese número por N menos 1, donde n es igual a cuántos números hay en la muestra, para obtener la varianza. Una vez que tenga la varianza, tome la raíz cuadrada para encontrar la desviación estándar. Finalmente, reste la media del punto de datos que está examinando y divide la diferencia por la desviación estándar. Para aprender a calcular la media de su muestra, ¡siga leyendo!
¿Qué es el valor de z en estadística?
El valor Z es una estadística de prueba para las pruebas Z que mide la diferencia entre una estadística observada y su parámetro de población hipotética en unidades de la desviación estándar. Por ejemplo, una selección de moldes de fábrica tiene una profundidad media de 10 cm y una desviación estándar de 1 cm. Un molde con una profundidad de 12 cm tiene un valor Z de 2, porque su profundidad es dos desviaciones estándar mayores que la media. La línea vertical representa esta observación y su ubicación en relación con toda la población:
La conversión de una observación a un valor Z se llama estandarización. Para estandarizar una observación en una población, reste la media de la población de la observación de interés y divida el resultado por la desviación estándar de la población. El resultado de estos cálculos es el valor Z asociado con la observación de interés.
Puede usar el valor Z para determinar si rechazar la hipótesis nula. Para determinar si rechazar la hipótesis nula compare el valor Z con su valor crítico, que se puede encontrar en una tabla normal estándar en la mayoría de los libros de estadísticas. El valor crítico es Z1-α/2 para una prueba de dos lados y Z1-α para una prueba de un lado. Si el valor absoluto del valor Z es mayor que el valor crítico, rechaza la hipótesis nula. Si no es así, no puede rechazar la hipótesis nula.
Por ejemplo, desea saber si un segundo grupo de moldes también tiene una profundidad media de 10 cm. Usted mide la profundidad de cada molde en el segundo grupo y calcula la profundidad media del grupo. Una prueba Z de 1 muestra calcula un valor Z de −1.03. Usted elige un α de 0.05, lo que da como resultado un valor crítico de 1.96. Debido a que el valor absoluto del valor Z es inferior a 1.96, no puede rechazar la hipótesis nula y no puede concluir que la profundidad media del molde es diferente de 10 cm.
¿Qué es Z en fórmula de muestra?
Z Estadísticas de prueba es un procedimiento estadístico utilizado para probar una hipótesis alternativa contra la hipótesis nula. Es cualquier hipótesis estadística utilizada para determinar si dos muestras son diferentes cuando se conocen las variaciones y la muestra es grande. La prueba Z determina si hay una diferencia significativa entre la muestra y las medias de población. La prueba z normalmente se usa para tratar problemas relacionados con muestras grandes. La unidad de «prueba z» de nombre de esa interferencia está realizada a partir de una distribución normal estándar y «z» es el símbolo tradicional utilizado para denotar una variable aleatoria normal estándar. La fórmula de prueba z calculada por la muestra de la muestra menos la población de la población dividida por la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra. Cuando el tamaño de la muestra es de más de 30 unidades que en ese caso, se debe realizar la prueba Z. Matemáticamente Z, la fórmula de prueba se representa como,
Supongamos que una persona quiere verificar o probar si el té y el café son igualmente populares en la ciudad. En ese caso, puede usar un método de estadísticas de prueba Z para obtener los resultados tomando un tamaño de muestra, por ejemplo, 500 de la ciudad de la cual suponen que 280 son bebedores de té. Entonces, para probar esta hipótesis, puede usar el método de prueba Z.
Principal en las afirmaciones escolares de que los estudiantes en su escuela son inteligencia superior al promedio y una muestra aleatoria de los puntajes de coeficiente intelectual de 30 estudiantes tienen una puntuación media de 112.5 y el IQ de población promedio es 100 con una desviación estándar de 15. ¿Hay evidencia suficiente para respaldar el reclamo principal ?
- Test t = (112.5 – 100) / (15 / √30)
- Prueba z = 4.56
Compare los resultados de la prueba Z con la tabla estándar de prueba Z y puede llegar a la conclusión de este ejemplo que la hipótesis nula es rechazada y el reclamo principal es correcto.
¿Qué es el valor de z?
La fórmula de puntaje Z o la fórmula de puntaje estándar se da como
Cuando no tenemos una puntuación Z preproviada que se nos suministre, utilizaremos la fórmula anterior para calcular la puntuación Z utilizando los otros datos disponibles como el valor observado, la media de la muestra y la desviación estándar. Del mismo modo, si tenemos el puntaje estándar proporcionado y nos faltan cualquiera de los otros tres valores, podemos sustituirlos en la fórmula anterior para obtener el valor faltante.
Entendamos cómo calcular el puntaje Z, la fórmula de puntaje Z y usemos la tabla Z con un simple ejemplo de la vida real.
P: 300 Los puntajes de los exámenes de los estudiantes universitarios se contienen al final del semestre. Eric obtuvo 800 marcas (x) en total de 1000. El puntaje promedio para el lote fue de 700 (µ) y la desviación estándar fue de 180 (σ). Vamos a descubrir qué tan bien anotó Eric en comparación con sus compañeros por lotes.
Usando los datos anteriores, primero debemos estandarizar su puntaje y usar la tabla Z respectiva antes de determinar qué tan bien se desempeñó en comparación con sus parejas por lotes.
Puntaje z = (valor observado – media de la muestra)/desviación estándar
Una vez que tenemos el puntaje Z que se derivó a través de la fórmula de puntaje Z, ahora podemos ir a la siguiente parte que es comprender cómo leer la tabla Z y asignar el valor del puntaje Z que tenemos, usándola.
Para asignar una puntuación Z en una tabla Z, no hace falta decir que lo primero que necesita es la puntuación Z en sí. En el ejemplo anterior, derivamos que la puntuación Z de Eric es 0.56.
¿Cómo calcular el valor de Z en una distribución normal?
Podemos convertir cualquier distribución normal en la distribución normal estándar para encontrar probabilidad y aplicar las propiedades de lo normal estándar. Para hacer esto, usamos el valor Z.
El valor Z (o a veces denominado puntaje Z o simplemente z) representa el número de desviaciones estándar que una observación es de la media para un conjunto de datos. Para encontrar el puntaje Z para una observación particular, aplicamos la siguiente fórmula:
Echemos un vistazo a la idea de un puntaje Z dentro del contexto.
Para un examen final reciente en Stat 500, la media fue de 68.55 con una desviación estándar de 15.45.
¿Siempre es bueno tener un puntaje Z positivo? Depende de la pregunta. Para los exámenes, desea una puntuación Z positiva (indica que obtuvo una puntuación más alta que la media). Sin embargo, si uno analizara los días de trabajo perdido, entonces un puntaje Z negativo sería más atractivo, ya que indicaría que la persona perdió menos que el número medio de días.
- Los puntajes pueden ser positivos o negativos.
- Para los datos que son simétricos (es decir, en forma de campana) o casi simétrico, una aplicación común de puntajes Z para identificar valores atípicos potenciales es para cualquier puntajes Z que estén más allá de ± 3.
- Máximo posible puntaje z para un conjunto de datos es ( dfrac {(n-1)} { sqrt {n}} )
Para cualquier variable aleatoria normal, si encuentra el puntaje Z para un valor (es decir, estandarizar el valor), la variable aleatoria se transforma en una normal estándar y puede encontrar probabilidades utilizando la tabla normal estándar.
¿Cómo sacar el valor de Z en la tabla de distribución normal?
Para poder utilizar una tabla Z y responder estas preguntas, debe convertir los puntajes en las diferentes pruebas en una distribución normal estándar N (media = 0, std = 1). Dado que estos puntajes en estas pruebas tienen una distribución normal, podemos convertirlos en ambos en distribuciones normales estándar utilizando la siguiente fórmula.
Con esta fórmula, puede calcular puntajes Z para Zoe y Mike.
Como Zoe tiene una puntuación Z más alta que Mike, Zoe funcionó mejor en su prueba.
Si bien sabemos que Zoe funcionó mejor, una tabla Z puede decirle en en qué percentil se encuentran los examinados. área debajo de la curva a la izquierda de nuestro puntaje Z. Esta es la probabilidad.
Para usar la tabla de puntaje Z, comience en el lado izquierdo de la mesa, baje a 1.2. En la parte superior de la tabla, vaya a 0.05 (esto corresponde al valor de 1.2 + .05 = 1.25). El valor en la tabla es .8944, que es la probabilidad. Aproximadamente el 89.44% de las personas obtuvieron puntajes peores que ella en el acto.
Para usar la tabla de puntaje Z, comenzar en el lado izquierdo de la tabla baje a 1.0 y ahora en la parte superior de la tabla, vaya a 0.00 (esto corresponde al valor de 1.0 + .00 = 1.00). El valor en la tabla es .8413, que es la probabilidad. Aproximadamente el 84.13% de las personas obtuvieron puntajes peores que él en el SAT.
¿Qué es el valor Z en la distribución normal?
Veamos por un ejemplo de investigación inventado para comprender mejor cómo funciona la distribución normal estándar.
Como investigador del sueño, tiene curiosidad sobre cómo los hábitos de sueño cambiaban durante los bloqueos de Covid-19. Recopila datos de duración del sueño de una muestra durante un bloqueo completo.
Antes del bloqueo, la media de la población era de 6.5 horas de sueño. La media de la muestra de bloqueo es 7.62.
Para evaluar si la media de su muestra difiere significativamente de la media de la población previa al bloquedo, realiza una prueba Z:
- Primero, calcula una puntuación Z para el valor medio de la muestra.
- Luego, encuentra el valor P para su puntaje Z con una tabla Z.
Para comparar la duración del sueño durante y antes del bloqueo, convierte la media de la muestra de bloqueo en una puntuación Z utilizando la media de la población previa al bloquedo y la desviación estándar.
Una puntuación Z de 2.24 significa que la media de su muestra es 2.24 desviaciones estándar mayores que la media de la población.
Para encontrar la probabilidad de la puntuación Z media de su muestra de 2.24 o menos, utiliza la tabla Z para encontrar el valor en la intersección de la fila 2.2 y la columna +0.04.
La tabla le dice que el área debajo de la curva hasta o por debajo de su puntaje Z es 0.9874. Esto significa que la duración media del sueño de su muestra es superior a aproximadamente el 98.74% de la duración media del sueño de la población.
Para encontrar el valor p para evaluar si la muestra difiere de la población, calcula el área bajo la curva anterior o a la derecha de su puntaje Z. Dado que el área total debajo de la curva es 1, restas el área debajo de la curva debajo de la puntuación Z a partir de 1.
¿Cómo se lee el Z-score?
En estadísticas, una puntuación Z nos dice cuántas desviaciones estándar de distancia se encuentra un valor dado de la media. Usamos la siguiente fórmula para calcular una puntuación Z:
- X es un único valor de datos sin procesar
- μ es la media
- σ es la desviación estándar
Una puntuación Z para un valor individual se puede interpretar de la siguiente manera:
- X es un único valor de datos sin procesar
- μ es la media
- σ es la desviación estándar
Cuanto mayor sea el valor absoluto de la puntuación Z, más lejos se encuentra un valor individual de la media.
El siguiente ejemplo muestra cómo calcular e interpretar las puntuaciones Z.
Supongamos que los puntajes para un determinado examen normalmente se distribuyen con una media de 80 y una desviación estándar de 4.
Pregunta 1: Encuentre el puntaje Z para un puntaje de examen de 87.
Podemos usar los siguientes pasos para calcular el puntaje Z:
- X es un único valor de datos sin procesar
- μ es la media
- σ es la desviación estándar
Esto nos dice que una puntuación de examen de 87 se encuentra 1.75 desviaciones estándar por encima de la media.
Pregunta 2: Encuentre el puntaje Z para un puntaje de examen de 75.
- X es un único valor de datos sin procesar
- μ es la media
- σ es la desviación estándar
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