Intervalo de validez: ¿qué es y cuál es su importancia?

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  • Determinar intervalos de validez
    Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, se proporciona el campo de pendiente correspondiente.
    Dibuje la solución para cada ecuación diferencial con las condiciones iniciales específicas dadas. ¿Cuál es el intervalo de validez?
  • En la sección por hacer con las ecuaciones de Bernoulli, la solución a la ecuación diferencial:
  • dydx+1xy = y3 frac {dy} {dx}+ frac {1} {x} y = y^3dxdy+x1 y = y3

con la condición inicial y (12) = 1y ( frac {1} {2}) = 1y (21) = 1 se encontró que era:

  • Determinar intervalos de validez
    Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, se proporciona el campo de pendiente correspondiente.
    Dibuje la solución para cada ecuación diferencial con las condiciones iniciales específicas dadas. ¿Cuál es el intervalo de validez?
  • En la sección por hacer con las ecuaciones de Bernoulli, la solución a la ecuación diferencial:
  • dydx+1xy = y3 frac {dy} {dx}+ frac {1} {x} y = y^3dxdy+x1 y = y3
  • y = 12xy = frac {1} { sqrt {2x}} y = 2x 1
  • Traza esta solución y da explícitamente su intervalo de validez.

    • Determinar intervalos de validez
      Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, se proporciona el campo de pendiente correspondiente.
      Dibuje la solución para cada ecuación diferencial con las condiciones iniciales específicas dadas. ¿Cuál es el intervalo de validez?
    • En la sección por hacer con las ecuaciones de Bernoulli, la solución a la ecuación diferencial:
    • dydx+1xy = y3 frac {dy} {dx}+ frac {1} {x} y = y^3dxdy+x1 y = y3
  • y = 12xy = frac {1} { sqrt {2x}} y = 2x 1
  • Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
  • dydx = −2xe-ey frac {dy} {dx} =-2xe^{-y} dxdy = −2xe-ey
  • Con condiciones iniciales y (1) = 0y (1) = 0y (1) = 0.

    ¿Cuál es el intervalo de validez para la solución?

    • Determinar intervalos de validez
      Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, se proporciona el campo de pendiente correspondiente.
      Dibuje la solución para cada ecuación diferencial con las condiciones iniciales específicas dadas. ¿Cuál es el intervalo de validez?
    • En la sección por hacer con las ecuaciones de Bernoulli, la solución a la ecuación diferencial:
    • dydx+1xy = y3 frac {dy} {dx}+ frac {1} {x} y = y^3dxdy+x1 y = y3
  • y = 12xy = frac {1} { sqrt {2x}} y = 2x 1
  • Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
  • dydx = −2xe-ey frac {dy} {dx} =-2xe^{-y} dxdy = −2xe-ey
  • Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
  • dydx = 4xy2 frac {dy} {dx} = 4xy^2dxdy = 4xy2
  • ¿Cuál es el intervalo de validez con las condiciones iniciales y (0) = 12y (0) = frac {1} {2} y (0) = 21?
  • ¿Cuál es el intervalo de validez con las condiciones iniciales y (12) =-2y ( frac {1} {2}) =-2y (21) =-2?
  • Durante esta lección, aprenderemos una característica importante de las ecuaciones diferenciales de primer orden llamadas intervalo de validez, incluso veremos cómo a veces esta característica se puede inferir fácilmente sin siquiera tener que encontrar la solución a la ecuación misma. Pero antes de continuar describiendo tal característica es importante para comprender el lenguaje que usamos para describirlo, por lo que primero aprenderemos qué es un intervalo y cómo definimos válidos o no válidos.

    ¿Qué es el intervalo de validez en matemáticas?

    Hemos llamado a esta sección intervalos de validez porque todos los ejemplos los involucrarán. Sin embargo, hay mucho más en esta sección. Veremos un par de teoremas que nos dirán cuándo podemos resolver una ecuación diferencial. También veremos algunas de las diferencias entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

    Primero echemos un vistazo a un teorema sobre las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Este es un teorema muy importante, aunque realmente no lo usaremos para su aspecto más importante.

    Si (p (t) ) y (g (t) ) son funciones continuas en un intervalo abierto ( alpha

    Entonces, ¿qué nos dice este teorema? Primero, nos dice que para las ecuaciones diferenciales de primer orden lo suficientemente agradables se garantizan que existen soluciones y, lo que es más importante, la solución será única. Es posible que no podamos encontrar la solución, pero sabemos que existe y que solo habrá uno de ellos. Este es el aspecto muy importante de este teorema. ¡Saber que una ecuación diferencial tiene una solución única a veces es más importante que tener la solución misma!

    A continuación, si el intervalo en el teorema es el intervalo más grande posible en el que (p (t) ) y (g (t) ) son continuos, entonces el intervalo es el intervalo de validez para la solución. Esto significa que para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, no necesitaremos resolver la ecuación diferencial para encontrar el intervalo de validez. Observe también que el intervalo de validez dependerá solo parcialmente de la condición inicial. El intervalo debe contener (t_ {o} ), pero el valor de (y_ {o} ), no tiene ningún efecto en el intervalo de validez.

    ¿Cómo se define un intervalo de una variable?

    La escala métrica le permite ordenar variables y medir las diferencias entre las observaciones.
    La escala métrica se divide aún más en:

    • intervalos
    • relaciones
    • escala absoluta

    Cuando las distancias entre las variables son medibles y se utilizan intervalos interpretables. Los cocientes por el contrario no son significativos. Las variables medidas gracias a los intervalos no tienen un punto nulo natural y no tienen una unidad de medición natural.
    Ejemplo: La temperatura en grados centigradi puede interpretarse como más alta o más baja más que otra, pero no es posible decir que una temperatura de 20 grados es el doble más caliente de 10 grados. Solo piense en las mediciones equivalentes en los grados de Fahrenheit. La conversión de los grados de Fahrenheit a Centigradi mueve el punto de cero.

    Cuando además de las distancias, los cocientes entre variables también son calculables e interpretables de manera significativa, se utilizan relaciones. En este caso, las variables tienen un punto nulo natural pero no una unidad de medición natural.
    Ejemplo: peso, altura, edad…

    Cuando las variables tienen un punto natural nulo y una unidad de medición natural de una escalera absoluta se usa.
    Ejemplo: todos los fenómenos que se pueden contar.

    Se dice que una variable es discreta si dentro de un intervalo solo puede tomar valores terminados o un número terminado de valores infinitos.
    Ejemplo: producción mensual de máquinas. (No es posible producir 2.3 máquinas)

    ¿Cómo se hace un intervalo en estadistica?

    Los problemas científicos asociados con la estimación del intervalo pueden resumirse de la siguiente manera:

    • Cuando se informan estimaciones de intervalo, deben tener una interpretación común en la comunidad científica y más ampliamente. En este sentido, los intervalos creíbles son más fácilmente entendidos por el público en general [cita necesaria]. Las estimaciones de intervalo derivadas de la lógica difusa tienen mucho más significados específicos de la aplicación.
    • Para situaciones comúnmente ocurridas, debe haber conjuntos de procedimientos estándar que se pueden usar, sujetos a la verificación y validez de cualquier suposición requerida. Esto se aplica tanto para intervalos de confianza como para intervalos creíbles.
    • Para situaciones más novedosas, debe haber orientación sobre cómo se pueden formular las estimaciones de intervalo. En este sentido, los intervalos de confianza y los intervalos creíbles tienen una posición similar pero hay diferencias:
    • Los intervalos de confianza son más flexibles y pueden usarse prácticamente en más situaciones que intervalos creíbles: un área donde los intervalos creíbles sufren en comparación con los modelos no paramétricos (ver estadísticas no paramétricas).
    • Debe haber formas de probar el rendimiento de los procedimientos de estimación de intervalos. Esto surge porque muchos de estos procedimientos implican aproximaciones de varios tipos y es necesario verificar que el rendimiento real de un procedimiento esté cerca de lo que se reclama. El uso de simulaciones estocásticas hace que esto sea sencillo en el caso de los intervalos de confianza, pero es algo más problemático para intervalos creíbles en los que la información previa debe tenerse en cuenta correctamente. La verificación de intervalos creíbles se puede realizar para situaciones que representan la no información previa, pero la verificación implica verificar las propiedades de frecuencia a largo plazo de los procedimientos.

    Severini (1991) analiza las condiciones bajo las cuales los intervalos creíbles y los intervalos de confianza producirán resultados similares, y también analiza tanto las probabilidades de cobertura de intervalos creíbles como las probabilidades posteriores asociadas con los intervalos de confianza.

    En la teoría de la decisión, que es un enfoque común y justificación para las estadísticas bayesianas, la estimación del intervalo no es de interés directo. El resultado es una decisión, no una estimación de intervalo y, por lo tanto, los teóricos de la decisión bayesianos usan una acción de Bayes: minimizan la pérdida esperada de una función de pérdida con respecto a toda la distribución posterior, no un intervalo específico.

    ¿Cómo determinar el intervalo de una función?

    Para encontrar intervalos crecientes y decrecientes, necesitamos encontrar dónde nuestra primera derivada es mayor o menor que cero. Si nuestra primera derivada es positiva, nuestra función original está aumentando y si G ‘(x) es negativa, G (x) está disminuyendo.

    Si conectamos cualquier número de 3 a 6, obtenemos un número POSITVE para G ‘(x), por lo que esta función debe aumentar en el intervalo {3,6}, porque G’ (x) es positivo.

    Encuentre los intervalos crecientes de la siguiente función en el intervalo:

    Para encontrar los intervalos crecientes de una función dada, uno debe determinar los intervalos donde la función tiene un primer derivado positivo. Para encontrar estos intervalos, primero encuentre los valores críticos, o los puntos en los que la primera derivada de la función es igual a cero.

    Cuando se establece igual a cero ,. Debido a que solo estamos considerando el intervalo abierto (0,5) para esta función, podemos ignorar. A continuación, miramos los intervalos alrededor del valor crítico, que son y. En el primer intervalo, la primera derivada de la función es negativa (enchufar los valores nos da un número negativo), lo que significa que la función está disminuyendo en este intervalo. Sin embargo, para el segundo intervalo, el primer derivado es positivo, lo que indica que la función está aumentando en este intervalo.

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    ¿Cuál es el intervalo de una función?

    ¿Te has preguntado por qué la distancia se acorta tan pronto como te mueves hacia la casa de tu amigo? ¿Y por qué sucede al revés cuando viajas en la dirección opuesta? Eso se debe a las funciones. En el cálculo, las funciones aumentadas y decrecientes son las funciones para las cuales el valor de F (x) aumenta y disminuye, respectivamente, con el aumento en el valor de x.

    Para verificar el cambio en las funciones, debe encontrar los derivados de tales funciones. Si el valor de la función aumenta con el valor de x, entonces la función es positiva. Si el valor de la función disminuye con el aumento en el valor de X, se dice que la función es negativa.

    Los intervalos crecientes y disminuidos de números reales son las funciones de valor real que tienden a aumentar y disminuir con el cambio en el valor de la variable dependiente de la función. Para encontrar intervalos de aumento y disminución, debe determinar la primera derivada de la función. Esto se hace para encontrar el signo de la función, ya sea negativo o positivo. Se dice que el intervalo de función es positivo si el valor de la función f (x) aumenta con un aumento en el valor de x. En contraste, se dice que el intervalo de función es negativo si el valor de la función f (x) disminuye con el aumento en el valor de x.

    Alternativamente, el intervalo de la función es positivo si el signo del primer derivado es positivo. El intervalo de la función es negativo si el signo del primer derivado es negativo. Por lo tanto, el intervalo positivo aumenta, mientras que se dice que el intervalo negativo es un intervalo decreciente.

    ¿Cómo determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente?

    • Si es posible, factor $ f ‘$. Si $ f ‘$ es un cociente,
      factorice el numerador y el denominador (por separado).
      Esto lo ayudará a encontrar el signo de $ F ‘$.
    • Encuentre todos los números críticos $ x = c $ de $ f $.
    • Dibuja una línea numérica con marcas de tick en cada
      Número crítico $ C $.
    • Para cada intervalo (entre el número crítico.
      marcas) en la que se define la función $ f $, elija un
      número $ b $, y úselo para encontrar el signo del
      derivado $ f ‘(b) $.
    • Si $ f ‘(b)> 0 $, dibuja una línea recta inclinada
      hacia arriba sobre ese intervalo en su línea numérica.
      Del mismo modo, si $ f ‘(b) <0 $, dibuja una línea recta inclinando hacia abajo.
    • ¡Eso es todo! Ahora puede ver los intervalos donde $ F $ es
      aumentando y disminuyendo.
    • Los intervalos que consideraremos son los intervalos entre los números críticos en
      el eje de $ x $, y entre el número crítico más pequeño y
      infinito negativo (si $ f $ se define en ese intervalo) y
      Del mismo modo entre el mayor $ C $ y el infinito positivo.
    • Para verificar el signo de $ f ‘$ en un intervalo, uno puede elegir un
      número $ b $ (un número favorito, fácil), y encuentre el signo de cada factor de $ f ‘$ en eso
      número. Luego, usando lo que sabemos sobre los productos de positivo
      y números negativos, podemos encontrar el signo de $ f ‘(b) $.
    • Si $ f ‘(b) $ es positivo, la función está aumentando en todo ese intervalo. Esto es
      Porque $ f ‘(x) $ es positivo a $ x = b $, y no se puede cambiar de signo
      en cualquier otro lugar en el intervalo (de manera similar si $ f ‘(b) $ es
      negativo). Recuerde: $ f ‘(x) $ solo puede cambiar el signo en
      ¡puntos críticos!

    Solución:

    • Si es posible, factor $ f ‘$. Si $ f ‘$ es un cociente,
      factorice el numerador y el denominador (por separado).
      Esto lo ayudará a encontrar el signo de $ F ‘$.
    • Encuentre todos los números críticos $ x = c $ de $ f $.
    • Dibuja una línea numérica con marcas de tick en cada
      Número crítico $ C $.
    • Para cada intervalo (entre el número crítico.
      marcas) en la que se define la función $ f $, elija un
      número $ b $, y úselo para encontrar el signo del
      derivado $ f ‘(b) $.
    • Si $ f ‘(b)> 0 $, dibuja una línea recta inclinada
      hacia arriba sobre ese intervalo en su línea numérica.
      Del mismo modo, si $ f ‘(b) <0 $, dibuja una línea recta inclinando hacia abajo.
    • ¡Eso es todo! Ahora puede ver los intervalos donde $ F $ es
      aumentando y disminuyendo.
    • Los intervalos que consideraremos son los intervalos entre los números críticos en
      el eje de $ x $, y entre el número crítico más pequeño y
      infinito negativo (si $ f $ se define en ese intervalo) y
      Del mismo modo entre el mayor $ C $ y el infinito positivo.
    • Para verificar el signo de $ f ‘$ en un intervalo, uno puede elegir un
      número $ b $ (un número favorito, fácil), y encuentre el signo de cada factor de $ f ‘$ en eso
      número. Luego, usando lo que sabemos sobre los productos de positivo
      y números negativos, podemos encontrar el signo de $ f ‘(b) $.
    • Si $ f ‘(b) $ es positivo, la función está aumentando en todo ese intervalo. Esto es
      Porque $ f ‘(x) $ es positivo a $ x = b $, y no se puede cambiar de signo
      en cualquier otro lugar en el intervalo (de manera similar si $ f ‘(b) $ es
      negativo). Recuerde: $ f ‘(x) $ solo puede cambiar el signo en
      ¡puntos críticos!
  • $ f ‘(x) = 3x^2-6x = 3x (x-2) $
  • Dado que $ f ‘$ siempre se define, los números críticos ocurren solo
    Cuando $ f ‘= 0 $, es decir, a $ c = 0 $ y $ c = 2 $.
  • Nuestros intervalos son $ (- infty, 0) $, $ (0,2) $ y $ (2, infty) $.
  • En el intervalo $ (- infty, 0) $, elige $ b = -1 $. (Tú podrías
    igual de bien elige $ b = -10 $ o $ b = -0.37453 $, o lo que sea, pero $ -1 $
    es más simple.) Ambos factores son negativos, por lo que $ f ‘(-1) $ es
    positivo. (También puede obtener esto simplemente evaluando
    $ F ‘(-1) = 9 $). En el intervalo $ (0,2) $, elija $ B = 1 $.
    Un factor ($ x $) es positivo, mientras que el otro ($ x-2 $) es
    Negativo, por lo que el producto es negativo. O simplemente evaluar
    $ F ‘(1) =-3 $. En el intervalo $ (2, infty) $, elija $ B = 3 $. Ambas cosas
    Los factores son positivos, por lo que $ f ‘(3) $ es positivo. Tenga en cuenta que todo lo que necesitamos aquí es el signo de
    $ f ‘$, no su valor.
  • Entonces nuestra función está aumentando en $ (- infty, 0) $, disminuyendo en
    $ (0,2) $, y luego aumentando nuevamente en $ (2, infty) $.
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