- Un espacio muestral $ x $, que es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
- Una colección de eventos $ Sigma $, que son subconjuntos de $ x $
- Una función $ mu $, llamada medida de probabilidad, que asigna a cada evento en $ sigma $ un número real no negativo
Consideremos el ejemplo simple de voltear una moneda. En ese caso, tenemos $ x = {h, t } $ para cabezas y colas respectivamente, $ sigma = { varnothing, {h }, {t }, x } $ y y y y y y $ mu ( varnothing) = 0 $, $ mu ( {h }) = mu ( {t }) = frac {1} {2}, $ y $ mu (x) = = 1 $. Todo esto es una forma elegante de decir que cuando volteo una moneda, tengo una probabilidad de $ 0 $ por ciento de voltear nada, una probabilidad de $ 50 por ciento de voltear las cabezas, una probabilidad de $ 50 por ciento de voltear colas y un $ 100 por ciento de $ 100 $ $ posibilidad de voltear algo, cabezas o colas. Todo esto es muy intuitivo.
Ahora, volviendo a la definición abstracta, hay ciertos requisitos naturales que $ Sigma $ y $ mu $ deben satisfacer. Por ejemplo, es natural exigir que $ varnothing $ y $ x $ sean elementos de $ sigma $, y que $ mu ( varnothing) = 0 $ y $ mu (x) = 1 $. Esto solo dice que al realizar un experimento, la probabilidad de que no ocurra ningún resultado es $ 0 $, mientras que la probabilidad de que ocurra algún resultado es $ 1 $.
Del mismo modo, es natural exigir que $ Sigma $ esté cerrado bajo complementos, y si $ e in Sigma $ es un evento, entonces $ mu (e^c)+ mu (e) = 1 $. Esto solo dice que al realizar un experimento, la probabilidad de que ocurra un evento $ E $ debe ser de $ 1 $.
Hay otros requisitos de $ Sigma $ que lo convierten en un $ sigma $ -logebra, y otros requisitos de $ mu $ que lo convierten en una medida (finita), y para estudiar rigurosamente la probabilidad, uno eventualmente debe familiarizarse con estos nociones.
¿Qué se mide con la probabilidad?
Esta sección contiene el ingrediente final y más importante en el modelo básico de un experimento aleatorio. Si usted es un nuevo estudiante de probabilidad, omita los detilos técnicos sobre la teoría de la medida.
Suponga que tenemos un experimento aleatorio con el espacio de muestra ((s, ms s) ), de modo que (s ) es el conjunto de resultados del experimento y ( ms s ) es la colección de eventos . Cuando ejecutamos el experimento, un evento dado (a ) ocurre o no ocurre, dependiendo de si el resultado del experimento está en (a ) o no. Intuitivamente, la probabilidad de un evento es una medida de la probabilidad de que ocurra el evento cuando ejecutemos el experimento. Matemáticamente, la probabilidad es una función en la colección de eventos que satisface ciertos axiomas.
Recuerde que la colección de eventos ( ms s ) debe ser un ( sigma )-álgebra, que garantiza que la unión de los eventos en (c) es en sí mismo un evento. Una medida de probabilidad es un caso especial de una medida positiva. El axioma (c) se conoce como aditividad contable, y afirma que la probabilidad de una unión de una colección finita o infinita de eventos disjuntos es la suma de las probabilidades correspondientes. Los axiomas se conocen como los axiomas de Kolmogorov, en honor de Andrei Kolmogorov, quien fue el primero en formalizar la teoría de probabilidad de manera axiomática. Más informalmente, decimos que ( p ) es una medida de probabilidad (o distribución) en (s ), la recopilación de eventos ( ms s ) generalmente se entiende.
¿Que se puede medir con la probabilidad?
El punto completo de probabilidad es medir algo. A diferencia de la longitud y el peso, tenemos valores muy específicos que nos importan, a saber, el intervalo ([0,1] ). El punto de probabilidad más básico es que esté midiendo la probabilidad de eventos en una escala de 0 a 1. Esta medición de eventos de 0 a 1 es la medida de probabilidad (¡sumergiremos mucho más profundamente en esto en la próxima publicación! ).
¡La parte difícil y matemáticamente desafiante es cómo mostramos que puedes medir esto! Este es el punto donde las matemáticas requeridas realmente aumentan. Voy a saltar todas esas matemáticas en esta publicación. Si el rigor matemático te excita, recomiendo sinceramente un primer vistazo a la rigurosa teoría de probabilidad. Las publicaciones futuras definitivamente profundizarán en estos temas, pero probablemente no lo suficiente como para complacer a un matemático serio.
Si estamos renunciando a las pruebas rigurosas reales con respecto a la medición de la probabilidad, ¿cuál es el punto? Hay varias ideas realmente útiles que se produjen la probabilidad teórica, que están tristemente oscurecidas de aquellos sin un fondo matemático profundo.
Primero, mida la probabilidad teórica dispensa de la idea de usar funciones únicamente discretas o continuas a favor del uso de conjuntos. En el primer encuentro de la mayoría de las personas, la idea de probabilidad, normalmente tenemos esta noción de que estamos pensando en términos de «eventos que podrían suceder». Cuando imaginamos todas las cosas que podrían suceder, realmente estamos imaginando un «conjunto» de eventos. ¡Esto es mucho más intuitivo y más general, ya que las distribuciones de probabilidad discretas y continuas también pueden describirse como conjuntos!
¿Qué mide la probabilidad de un evento?
En el contexto de la teoría de la probabilidad, la medida de probabilidad es el nombre técnico de la función que asigna a los resultados de un experimento específico la probabilidad de que estos resultados tengan lugar.
Es importante observar que la medida de probabilidad no asigna la probabilidad a los puntos individuales del espacio muestral (eventos elementales) sino a subconjuntos de TI (eventos).
Si la asignación de una medida de probabilidad específica es un hecho único o arbitrario, se ha discutido durante años en la comunidad científica.
El entorno axiomático debido a Kolmogorov no se encarga de esto, pero se preocupa por definir y formalizar el concepto para que sea operativo desde un punto de vista matemático.
En términos más rigurosos, una medición de medición, un caso particular de medición, es una función auditiva sigma definida en un espacio de eventos en valores en el intervalo [0.1]. { DisplayStyle [0.1].}
Ambos a { DysplayStyle { Mathcal {a}}}} un Sigma-Algebra de subconjuntos de ω { splatyle textStyle Omega} y μ displaystyle mu} Medida de probabilidad definida en él.
En realidad, la segunda propiedad de las medidas es redundante (es decir, se puede omitir), de hecho, ya que ∅∪∅ = ∅ {{ splatyle viorating cup viorating = viorating}, y dado que es una unión incómoda, De las terceras propiedades de las medidas se obtiene μ (∅) = μ (∅∪∅) = μ (∅)+μ (∅) { splatyle mu ( varnTothing) = mu ( varnTothing cup vurnothing) = Mu ( varntothing)+ mu ( vurnothing)} desde el cual, de hecho, μ (∅) = 0 { dongestyle mu ( vurnothing) = 0}
¿Cómo se mide la probabilidad de un evento?
En matemáticas, una medida de probabilidad es una función de valor real definida en un conjunto de eventos en un espacio de probabilidad que satisface las propiedades de medida como la aditividad contable. [1] La diferencia entre una medida de probabilidad y la noción de medida más general (que incluye conceptos como área o volumen) es que una medida de probabilidad debe asignar el valor 1 a todo el espacio de probabilidad.
Intuitivamente, la propiedad de aditividad dice que la probabilidad asignada a la unión de dos eventos disjuntos por la medida debería ser la suma de las probabilidades de los eventos; Por ejemplo, el valor asignado a «1 o 2» en un lanzamiento de un dados debe ser la suma de los valores asignados a «1» y «2».
Las medidas de probabilidad tienen aplicaciones en diversos campos, desde física hasta finanzas y biología.
Por ejemplo, dados tres elementos 1, 2 y 3 con probabilidades 1/4,1/4 { DisplayStyle 1/4,1/4} y 1/2, { DisplayStyle 1/2,} el valor asignado a {1 , 3} { displayStyle {1,3 }} es 1/4+1/2 = 3/4, { displayStyle 1/4+1/2 = 3/4,} como en el diagrama a la derecha .
Las medidas de probabilidad son distintas de la noción más general de medidas difusas en las que no existe el requisito de que los valores difusos sean hasta 1, { displaystyle 1,} y la propiedad aditiva se reemplaza por una relación de orden basada en la inclusión establecida.
Las medidas de mercado que asignan probabilidades a los espacios del mercado financiero basados en movimientos reales del mercado son ejemplos de medidas de probabilidad que son de interés en las finanzas matemáticas; Por ejemplo, en el precio de los derivados financieros. [5] Por ejemplo, una medida de riesgo neutral es una medida de probabilidad que supone que el valor actual de los activos es el valor esperado de la recompensa futura tomada con respecto a la misma medida neutral de riesgo (es decir, calculado utilizando la función de densidad neutral de riesgo correspondiente), y descuento a la tasa libre de riesgos. Si hay una medida de probabilidad única que debe usarse para fijar los activos de un mercado, entonces el mercado se llama mercado completo. [6]
¿Cómo se mide la probabilidad de ocurrencia de un evento?
La probabilidad de múltiples eventos es un tema interesante discutido en matemáticas y estadísticas. Hay casos en los que estamos observando múltiples eventos y queremos resultados particulares: cuando esto sucede, saber cómo calcular la probabilidad de múltiples eventos es útil.
La probabilidad de múltiples eventos nos ayuda a medir nuestras posibilidades de obtener los resultados deseados cuando ocurren dos o más respiraderos. La probabilidad medida dependerá en gran medida de si los eventos dados son independientes o dependientes.
Al ver que este es un tema más complejo que los temas anteriores de probabilidad, asegúrese de actualizar su conocimiento sobre lo siguiente:
Comencemos por comprender cuando aplicamos la probabilidad particular que estamos discutiendo, y podemos hacerlo estudiando la hilera que se muestra en la siguiente sección.
La probabilidad de múltiples eventos ocurre cuando intentamos calcular la probabilidad de observar dos o más eventos. Estos incluyen experimentos en los que estamos observando diferentes comportamientos simultáneamente, dibujando tarjetas con múltiples condiciones o prediciendo el resultado de una hiladora multicolor.
Hablando de hilanderos, ¿por qué no observamos la imagen que se muestra arriba? A partir de esto, podemos ver que el spinner se divide en siete regiones y se distingue por los colores o las etiquetas de la región.
Aquí hay ejemplos de múltiples eventos que podemos verificar de los hilanderos:
Encontrar la probabilidad de girar una violeta o un $ A $.
¿Cuál es la fórmula para calcular la probabilidad?
Solo dos fórmulas están en el programa Tale ES. El uso de uno de ellos es el tema de este artículo.
Dados dos eventos $ A $ y $ B $ de probabilidades no cero, la fórmula de las probabilidades totales hace posible afirmar que: $ p (b) = p (a cap b)+p ( bar {a} Cap B) $.
Esta fórmula es muy natural: para contar la cantidad de niños con ojos azules ($ b $) en una clase, puedo agregar el número de niñas a los ojos azules ($ a cap b $) y la cantidad de niños azul ($ Bar {a} cap b $).
Usando la fórmula de probabilidad condicional, la fórmula de probabilidades totales también está escrita:
$ P (b) = p (a) Times p_a (b)+p ( bar {a}) Times p _ { bar {a}} (b) $.
Es importante tener en cuenta que la fórmula de probabilidades totales se traduce gráficamente en la suma de las probabilidades de las rutas que conducen a un evento dado (a continuación, el evento $ B $).
Antes de escribir la fórmula, se recomienda construir un árbol. Entonces es posible «leer» la fórmula en el árbol (este es un método excelente para encontrar la fórmula en lugar de aprender de memoria).
Nota: Esta fórmula se puede extender en caso de que haya más eventos. La regla a recordar es siempre «la probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de los caminos que conducen a este evento».
- Nivel fácil
Deje $ A $ y $ B $ dos eventos.
Sabemos que $ p (a) = 0.4 $, $ p_a ( bar {b}) = 0.7 $ y $ p _ { bar {a}} ( bar {b}) = 0.9 $.
Calcule $ P (b) $.
¿Qué es probabilidad y cuál es su fórmula?
Así que lanzemos una moneda en el aire. Queremos determinar la probabilidad de que tenga la mente.
Supongamos que hemos realizado 10 lanzamientos, y que en estos diez lanzamientos solo 3 veces obtuvo un punto de vista. Entonces 3 es el número de resultados favorables. Las otras 7 veces han tenido una cruz. Entonces 7 es el número de resultados desfavorables.
Por lo tanto, diremos que 3/10 es la frecuencia de resultados favorables. 7/10 es, en cambio, la frecuencia de resultados desfavorables. Sin embargo, es una frecuencia relativa, no absoluta. Es decir, en relación con el número de lanzamientos.
Si aumentamos el número de lanzamientos, notaremos un hecho interesante, a saber, la presencia de una cierta tendencia: a medida que aumenta el número de lanzamientos, el número de cabezas tiende a estar cada vez más cerca del número de cruces. Las dos frecuencias relativas tienden a estabilizarse alrededor de cierto valor, que es 0.5 (es decir, 1/2).
Este resultado fue predecible incluso antes de ejecutar los lanzamientos, gracias al concepto de probabilidad. Está dado:
En nuestro caso 1 es el resultado favorable (cabeza) y dos resultados posibles (cabeza o cruz). Su relación es precisamente 1/2.
En el lanzamiento de una nuez, por otro lado, la probabilidad de que salga cierto número es 1/6.
De esto entendemos cómo la frecuencia relativa se obtiene solo experimentalmente, es decir, realizando un cierto número de pruebas; Si bien la probabilidad matemáticamente, es decir, sin hacer evidencia. Al aumentar el número de pruebas cada vez más, la frecuencia relativa se acerca cada vez más a la probabilidad matemática.
¿Qué es probabilidad y fórmula?
Cuántas dificultades hay en el razonamiento sobre la probabilidad, más allá de las dificultades para comprender cuál puede ser la probabilidad, se destaca por algunas paradojas que se encuentran en realidad, donde en realidad son preguntas con respuestas contradicumentales:
- En la paradoja de las tres cartas, el error generalmente consiste en no haber identificado correctamente qué son los eventos: los lados de las cartas y no las cartas en sí;
- En la paradoja de los dos niños, el error generalmente consiste en no distinguir diferentes eventos, es decir, considerando un solo evento que en realidad son en realidad dos;
- En el problema de Monty Hall, la dificultad consiste sobre todo al aceptar la idea de que una nueva información puede cambiar las posibilidades de los eventos, sin los cambios del mundo real, el otro error consiste en no analizar completamente y, por lo tanto, evaluar correctamente la nueva información adquirida
Se puede dar una fuente adicional de confusión presupuestando (incorrecto) de que el hecho de que un evento sea probable que sea 1 { Splawyle 1} implica que siempre sucede (en lugar de casi con certeza).
- En la paradoja de las tres cartas, el error generalmente consiste en no haber identificado correctamente qué son los eventos: los lados de las cartas y no las cartas en sí;
- En la paradoja de los dos niños, el error generalmente consiste en no distinguir diferentes eventos, es decir, considerando un solo evento que en realidad son en realidad dos;
- En el problema de Monty Hall, la dificultad consiste sobre todo al aceptar la idea de que una nueva información puede cambiar las posibilidades de los eventos, sin los cambios del mundo real, el otro error consiste en no analizar completamente y, por lo tanto, evaluar correctamente la nueva información adquirida
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