Cada medida que realizamos en el laboratorio tiene cierto grado de incertidumbre asociada simplemente porque ningún dispositivo de medición es perfecto. Si se puede encontrar una cantidad deseada directamente a partir de una sola medida, entonces la incertidumbre en la cantidad está completamente determinada por la precisión de la medición. Sin embargo, no es tan simple cuando una cantidad debe calcularse a partir de dos o más mediciones, cada una con su propia incertidumbre. En este caso, la precisión del resultado final depende de las incertidumbres en cada una de las mediciones que se convirtieron en calcularlo. En otras palabras, la incertidumbre siempre está presente y la incertidumbre de una medición siempre se lleva a cabo a través de todos los cálculos que la usan.
Uno podría pensar que todo lo que necesitamos hacer es realizar el cálculo en el extremo del intervalo de confianza de cada variable, y el resultado que refleja la incertidumbre en la cantidad calculada. Aunque esto funciona en algunos casos, generalmente falla, porque necesitamos tener en cuenta la distribución de los posibles valores en todas las variables medidas y cómo eso afecta la distribución de valores en la cantidad calculada. Aunque esto parece una tarea desalentadora, el problema es solucionable y se ha resuelto, pero la prueba no se dará aquí. El resultado es una ecuación general para la propagación de la incertidumbre que se da como EQN. 1.2 en Eqn. 1 F es una función en varias variables, xi, cada una con su propia incertidumbre, Δxi.
De la ecuación. 1, es posible calcular la incertidumbre en la función, ΔF, si conocemos las incertidumbres en cada variable y la forma funcional de F (por lo que podemos calcular las derivadas parciales con respecto a cada variable). Es más fácil entender cómo funciona todo esto haciendo varios ejemplos.
¿Cómo se hace la propagación de errores?
La propagación de errores ocurre cuando mide algunas cantidades A, B, C,… con incertidumbres ΔA, ΔB, ΔC… y luego desea calcular alguna otra cantidad Q utilizando las mediciones de A, B, C, etc.
Resulta que las incertidumbres ΔA, ΔB, ΔC se propagarán (es decir, «se extenderán a») a la incertidumbre de Q.
Para calcular la incertidumbre de Q, denotado ΔQ, podemos usar las siguientes fórmulas.
Nota: Para cada una de las fórmulas a continuación, se supone que las cantidades A, B, C, etc. tienen errores aleatorios y no correlacionados.
Entonces ΔQ = √ (ΔA) 2 + (ΔB) 2 +… + (ΔC) 2 + (Δx) 2 + (Δy) 2 +… + (ΔZ) 2
Ejemplo: suponga que mide la longitud de una persona desde el suelo hasta la cintura como 40 pulgadas ± .18 pulgadas. Luego mide la longitud de una persona desde su cintura hasta la parte superior de su cabeza como 30 pulgadas ± .06 pulgadas.
Supongamos que luego usa estas dos medidas para calcular la altura total de la persona. La altura se calcularía como 40 pulgadas + 30 pulgadas = 70 pulgadas. La incertidumbre en esta estimación se calcularía como:
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¿Cómo se pueden determinar los errores?
El conocimiento que tenemos del mundo físico se obtiene haciendo
Experimentos y medidas de fabricación. Es importante entender cómo
Exprese dichos datos y cómo analizar y sacar conclusiones significativas de ellos.
Al hacer esto, es crucial comprender que todas las mediciones de
Las cantidades están sujetas a incertidumbres. Nunca es posible medir
cualquier cosa exactamente. Es bueno, por supuesto, cometer el error tan pequeño como
posible pero siempre está ahí. Y para sacar conclusiones válidas el
El error debe indicarse y tratarse correctamente.
Tome la medición de la altura de una persona como ejemplo. Asumiendo que ella
Se ha determinado que la altura es 5 ‘8 «, ¿qué tan preciso es nuestro resultado?
Bueno, la altura de una persona depende de qué tan recta se mantenga, ya sea que ella
Acabo de levantarme (la mayoría de la gente es un poco más alta cuando se levanta de un largo descanso
en posición horizontal), ya sea que tenga los zapatos puestos y cuánto tiempo sea su cabello
y cómo se compone. Estas inexactitudes podrían llamarse errores de
definición. Una cantidad como la altura no se define exactamente sin
especificando muchas otras circunstancias.
Incluso si pudiera especificar con precisión las «circunstancias», su resultado
todavía tengo un error asociado con él. La escala que está utilizando es de limitado
precisión; Cuando lea la escala, es posible que deba estimar una fracción entre
las marcas en la escala, etc.
Si el resultado de una medición es tener significado que no puede consistir en el
valor medido solo. Una indicación de cuán preciso es el resultado debe ser
incluido también. De hecho, se requiere más esfuerzo para determinar el
error o incertidumbre en una medición que realizar el
medición misma. Por lo tanto, el resultado de cualquier medición física tiene dos
Componentes esenciales: (1) Un valor numérico (en un
sistema de unidades) dar la mejor estimación posible de la cantidad medida,
y (2) el grado de incertidumbre asociado con este valor estimado.
Por ejemplo, una medición del ancho de una tabla produciría un resultado como
95.3 +/- 0.1 cm.
¿Cómo se debe efectuar el cálculo de errores al realizar mediciones?
Calcular de manera rutinaria el intervalo de confianza o el margen de error en sus mediciones de espectroscopía significa que debe adoptar ciertas prácticas adicionales en sus operaciones. Por ejemplo, tendrá que tomar varias medidas de cada parte en lugar de una. Tendrá que familiarizarse con la forma correcta de análisis estadístico y luego encontrar una manera (o elegir el software) que haga los cálculos correctos cada vez que realice una medición. Entonces, ¿por qué es tan importante calcular el margen de error en la espectroscopía?
En primer lugar, sin un margen de error preciso, simplemente no puede estar seguro de que sus piezas cumplan con las especificaciones como hemos mencionado antes. Ya sea composición de medición o espesor de medición, las partes fuera de las especificaciones pueden provocar retrabajo, chatarra, falla en el campo y daños potenciales de reputación. Si ha determinado con precisión el margen de error para sus componentes, puede ver más fácilmente si es probable que estén fuera de las especificaciones antes de causar problemas a sus clientes.
En segundo lugar, los sistemas de gestión de calidad (QMS) reconocidos internacionalmente incluyen análisis del sistema de medición (MSA). Esto significa que no puede ser certificado para algunos estándares de calidad internacional a menos que tenga un MSA sólido; y eso incluirá un cálculo de la incertidumbre de medición para sus mediciones de espectroscopía. Por ejemplo, el estándar IATF 19649 es el estándar más extendido de la industria automotriz para la calidad. El estándar está diseñado para implementarse junto con ISO 9001, y una cláusula en la Sección 7 de IATF19649 se ocupa exclusivamente con el análisis del sistema de medición. Si está vendiendo a la industria automotriz, o uno como este que exige estándares de alta calidad, encontrará que es esencial un procedimiento de análisis del sistema de medición sólido que incluya la incertidumbre de medición.
Debemos señalar que una vez que los procedimientos se adoptan en sus operaciones, se convierten en una segunda naturaleza. Una vez configurado correctamente, la mayoría de los instrumentos de espectroscopía tienen la capacidad de llevar a cabo los cálculos de análisis estadístico para usted.
¿Qué es la propagación de errores?
La incertidumbre U puede expresarse de varias maneras.
Puede definirse por el error absoluto ΔX. Las incertidumbres también pueden definirse por el error relativo (Δx)/X, que generalmente se escribe como un porcentaje.
Más comúnmente, la incertidumbre en una cantidad se cuantifica en términos de la desviación estándar, σ, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza. El valor de una cantidad y su error se expresan como un intervalo x ± U. Si se conoce o se puede suponer que la distribución de probabilidad estadística de la variable, es posible obtener límites de confianza para describir la región dentro de la cual se puede encontrar el valor verdadero de la variable. Por ejemplo, los límites de confianza del 68% para una variable unidimensional perteneciente a una distribución normal son aproximadamente ± una desviación estándar σ del valor central x, lo que significa que la región x ± σ cubrirá el valor real en aproximadamente el 68% de casos.
Si las incertidumbres están correlacionadas, entonces la covarianza debe tenerse en cuenta. La correlación puede surgir de dos fuentes diferentes. Primero, los errores de medición pueden estar correlacionados. En segundo lugar, cuando los valores subyacentes se correlacionan entre una población, las incertidumbres en los promedios del grupo se correlacionarán. [1] Para datos muy caros o funciones complejas, la propagación de errores se puede lograr con un modelo sustituto, p. Basado en la teoría de probabilidad bayesiana. [2]
donde σkx = σxk2 { displaystyle sigma _ {k}^{x} = sigma _ {x_ {k}}^{2}} es la varianza del elemento K-th del vector x.
Tenga en cuenta que a pesar de que los errores en x pueden no estar correlacionados, los errores en F están en general correlacionados; En otras palabras, incluso si σx { displayStyle { boldsymbol { sigma}}^{x}} es una matriz diagonal, σf { displayStyle { boldsymbol { sigma}}^{f}} está en general un completo un completo un completo matriz.
Las expresiones generales para una función F escalar F son un poco más simples (aquí A es un vector de fila):
Cada término de covarianza σij { displayStyle sigma _ {ij}} se puede expresar en términos del coeficiente de correlación siJ { DisplayStyle rho _ {iJ}} por σij = ρijσJ { displayStyle sigma _ {iJ} = rHO _ {ij} sigma _ {i} sigma _ {j}}, de modo que una expresión alternativa para la varianza de F es
¿Qué es propagación de error y cómo se calcula?
En muchos casos, nuestros resultados finales de un experimento no serán
medido directamente, pero será una función de uno o más
cantidades medidas. Por ejemplo, si queremos medir la densidad
de un bloque rectangular, podríamos medir la longitud, la altura, el ancho,
y masa del bloque, y luego calcule la densidad de acuerdo con el
ecuación
Cada una de las cantidades medidas tiene un error asociado
con eso —-
y estos errores se llevarán a cabo de alguna manera al error
En nuestra respuesta ,.
Escribir la ecuación anterior en una forma más general,
tenemos:
El cambio en
para un pequeño error en (por ejemplo) m se aproxima a
dónde está
la derivada parcial de
con respecto a .
En el peor de los casos, todos los errores individuales actuarían
juntos para maximizar el error en.
En este caso, el error total sería dado por
Si los errores individuales son independientes entre sí
(es decir, si el tamaño de un error no está relacionado de ninguna manera con el
tamaño de los demás), algunos de los errores en
cancelarse mutuamente y el error en
será más pequeño que el que se muestra arriba. Para errores independientes, estadísticos
El análisis muestra que una buena estimación para el error en
es dado por
Diferenciando la fórmula de densidad, obtenemos el
Siguiendo derivados parciales:
Dividiendo por
Para obtener el error fraccional o relativo,
Esto nos da una relación bastante simple entre
el error fraccional en la densidad y los errores fraccionales en
.
Puede ser útil tener en cuenta que, en la ecuación anterior, un gran error
en una cantidad ahogará los errores en las otras cantidades,
y pueden ser ignorados de manera segura. Por ejemplo, si el error en el
La altura es del 10%
y el error en las otras mediciones es del 1%,
El error en la densidad es 10.15%,
Solo 0.15% más alto que el error solo en la altura.
¿Qué es el error propagado en matemáticas?
- Reconocer, describir y calcular las medidas de la propagación de datos: varianza, desviación estándar y rango.
Una característica importante de cualquier conjunto de datos es la variación en los datos. En algunos conjuntos de datos, los valores de datos se concentran estrechamente cerca de la media; En otros conjuntos de datos, los valores de datos se extienden más ampliamente desde la media. La medida más común de variación, o propagación, es la desviación estándar. La desviación estándar es un número que mide cuán lejos están los valores de los datos de su media.
La desviación estándar proporciona una medida numérica de la cantidad total de variación en un conjunto de datos, y puede usarse para determinar si un valor de datos particular está cerca o lejos de la media.
La desviación estándar siempre es positiva o cero. La desviación estándar es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, que exhiben poca variación o propagación. La desviación estándar es mayor cuando los valores de los datos se extienden más a partir de la media, exhibiendo más variación.
Supongamos que estamos estudiando la cantidad de tiempo que los clientes esperan en la cola en el pago en el supermercado [látex] a [/látex] y el supermercado [látex] b [/látex]. El tiempo de espera promedio en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado [látex] a [/látex], la desviación estándar para el tiempo de espera es de dos minutos; En el supermercado [látex] B [/látex], la desviación estándar para el tiempo de espera es de cuatro minutos.
Debido a que el supermercado [látex] B [/látex] tiene una desviación estándar más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado [látex] B [/látex]. En general, los tiempos de espera en el supermercado [látex] B [/látex] están más distribuidos del promedio; Los tiempos de espera en el supermercado [látex] A [/látex] están más concentrados cerca del promedio.
¿Qué es propagación de errores en metodos numericos?
La propagación de errores es esencial para comprender cómo la incertidumbre en un parámetro afecta los cálculos que usan ese parámetro. La incertidumbre se propaga por un conjunto de reglas en su solución. Estas reglas no son fáciles de recordar, o se aplican a situaciones complicadas, y solo son aproximados para las ecuaciones que no son lineales en los parámetros.
Usaremos una simulación de Monte Carlo para ilustrar la propagación de errores. La idea es generar una distribución de posibles valores de parámetros y evaluar su ecuación para cada valor de parámetro. Luego, realizamos un análisis estadístico en los resultados para determinar el error estándar de los resultados.
Asumiremos que todos los parámetros se definen mediante una distribución normal con media conocida y desviación estándar.
Esta regla es diferente a la multiplicación (a^2 = a*a) porque en los ejemplos anteriores asumimos que los errores en A y B para A*b no estaban correlacionados. En A*a, los errores no están sin correlacionarse, por lo que hay una regla diferente para la propagación de errores.
Puede realizar numéricamente el análisis de propagación de errores si conoce la distribución subyacente de los errores en los parámetros en sus ecuaciones. Un beneficio de la propagación numérica es que no tiene que recordar las reglas de propagación de errores, y observa directamente la distribución en casos no lineales. Algunas limitaciones de este enfoque incluyen
- Debe conocer la distribución de los errores en los parámetros
- Debe asumir que los errores en los parámetros no están correlacionados.
¿Qué tipo de errores se presentan en los métodos numéricos?
En el mundo de las matemáticas, el análisis numérico es bien conocido por centrarse en los algoritmos utilizados para resolver problemas en matemáticas continuas. La práctica es un territorio familiar para los ingenieros y aquellos que trabajan con la ciencia física, pero también está comenzando a expandirse aún más en áreas de artes liberales. Puede ver esto en astrología, análisis de cartera de acciones, análisis de datos y medicina. Parte de la aplicación del análisis numérico implica el uso de errores. Se buscan y aplican errores específicos para llegar a conclusiones matemáticas.
El error redondeado se usa porque representar cada número como un número real no es posible. Por lo tanto, se introduce el redondeo para ajustar esta situación. Un error redondo representa la cantidad numérica entre lo que realmente es una cifra en comparación con su valor de número real más cercano, dependiendo de cómo se aplique la ronda. Por ejemplo, el redondeo al número entero más cercano significa que redondea o baja a lo que es la figura completa más cercana. Entonces, si su resultado es 3.31, entonces redondearía a 3. redondear la cantidad más alta sería un poco diferente. En este enfoque, si su cifra es 3.31, su redondeo sería 4. En términos de análisis numérico, el error redondeado es un intento de identificar cuál es la distancia de redondeo cuando aparece en algoritmos. También se conoce como un error de cuantización.
Se produce un error de truncamiento cuando la aproximación está involucrada en el análisis numérico. El factor de error está relacionado con cuánto es el valor aproximado de la variación del valor real en una fórmula o resultado matemático. Por ejemplo, tome la fórmula de 3 x 3 + 4. El cálculo es igual a 28. Ahora, descomponen y la raíz está cerca de 1.99. Por lo tanto, el valor de error de truncamiento es igual a 0.01.
La discretización implica convertir o particionar variables o atributos continuos a atributos, intervalos y variables nominales. Como tipo de error de truncamiento, el error de discretización se centra en cuánto un problema matemático discreto no es consistente con un problema matemático continuo.
Si un error permanece en un punto en un algoritmo y no se agrega más a medida que el cálculo continúa, entonces se considera un error numéricamente estable. Esto sucede cuando el error causa solo una variación muy pequeña en el resultado de la fórmula. Si se produce lo contrario y el error se propaga más grande a medida que el cálculo continúa, entonces se considera numéricamente inestable.
¿Cómo hacer la propagación de errores?
La propagación de errores (o propagación de la incertidumbre) es lo que sucede con los errores de medición cuando usa esas mediciones inciertas para calcular algo más. Por ejemplo, puede usar la velocidad para calcular la energía cinética, o puede usar la longitud para calcular el área. Cuando usa mediciones inciertas para calcular algo más, se propagan (crecen mucho más rápidamente que la suma de los errores individuales). Para tener en cuenta esta propagación, use una de las siguientes fórmulas en sus experimentos.
Quizás se pregunte por qué no puede simplemente agregar (o multiplicar o dividir) los errores y terminar con ellos. ¿Por qué tenemos que usar fórmulas? Muy básicamente, un pequeño error de medición en una variable independiente, cuando se aplica a una función (digamos, una fórmula para área, energía cinética o velocidad) dará como resultado un error mucho mayor en la variable dependiente.
Por qué el trabajo de las fórmulas requiere una comprensión del cálculo, y particularmente derivados; Se derivan de la ecuación gaussiana para errores distribuidos normalmente. Si tiene algún error en su medición (x), entonces el error resultante en la salida de la función (y) se basa en la pendiente de la línea (es decir, la derivada).
La fórmula general (usando derivados) para la propagación de errores (de la cual se derivan todas las otras fórmulas) es:
Donde q = q (x) es cualquier función de x.
Las fórmulas de propagación de errores se basan en tomar derivadas parciales de una función con respecto a la variable con la incertidumbre. Supongamos que tenía una función con tres variables (X, U, V) y dos de esas (U, V) tienen incertidumbre. La varianza de X puede ser aproximada por [1]:
Pregunta de ejemplo: El volumen de gasolina entregado de una bomba es la diferencia entre las lecturas iniciales (i) y finales (F). Si cada lectura tiene una incertidumbre de & PM; 0.02 ml, ¿cuál es el error en el volumen entregado?
¿Cómo se calcula los errores?
Los errores sistemáticos son inexactitudes reproducibles que están consistentemente en la misma dirección. Estos errores son difíciles de detectar y no se pueden analizar estadísticamente. Si se identifica un error sistemático al calibrar contra un estándar, aplicando un factor de corrección o corrección a
compensar el efecto puede reducir el sesgo. A diferencia de los errores aleatorios, los errores sistemáticos no se pueden detectar o reducir aumentando el número de observaciones.
Pero si usabas un pinador vernier, la incertidumbre podría reducirse a tal vezEl factor limitante con la palanca del medidor es paralaje,
Mientras que el segundo caso está limitado por la ambigüedad en la definición del diámetro de la pelota de tenis (¡es difusa!). En ambos casos, la incertidumbre es mayor que las divisiones más pequeñas marcadas en la herramienta de medición (probablemente 1 mm y 0.05 mm respectivamente). Desafortunadamente, no existe una regla general para determinar la incertidumbre en todas las mediciones. El experimentador es el que mejor puede evaluar y cuantificar la incertidumbre de una medición basada en todos los factores posibles que afectan el resultado. Por lo tanto, la persona que hace la medición tiene la obligación de hacer posible el mejor juicio e informar la incertidumbre de una manera que explica claramente lo que representa la incertidumbre:== 31.19 cm
- Sume todas las medidas y divida por N para obtener el promedio o media.
- Ahora, reste este promedio de cada una de las N mediciones para obtener n «desviaciones».
¿Cómo calcular el error en un experimento?
Una medida experimental consiste en la recopilación de un conjunto de datos, que no
Son exactos, pero de la cual generalmente se conoce la distribución estadística (típicamente
Asumimos una distribución gaussiana en torno al valor real). En general
Luego se procesan estos datos para deducir el valor de las cantidades físicas.
interesante. Por ejemplo, de las medidas del período de fluctuación t
y longitud l
de un péndulo, se puede obtener el valor de la aceleración
de gravedad:
En un caso como este, en el que la dependencia funcional de la grandeza física
significativo de las cantidades medidas es relativamente simple, podemos estimar
El error en g a través de fórmulas de propagación simples
de errores:
Sin embargo, muy a menudo un experimento requiere un análisis de datos mucho más
complejo y no es posible dar una fórmula matemática simple para conectarse
las variables medidas (y sus incertidumbres) con las variables derivadas (y el
sus incertidumbres). En otros casos, la hipótesis misma de los errores gaussianos no es válida.
En este caso, se debe realizar una simulación del proceso de análisis
datos para poder evaluar si el procedimiento es correcto y dar uno
Estimación de incertidumbres.
El proceso lógico que se sigue al configurar una simulación
Es lo siguiente:
- Hay un verdadero valor de las constantes físicas de interés;
- se calcula cómo este valor real traduce un valor real
cantidades observables;
¿Cómo se calculan los errores relativos?
Para calcular el error relativo en una proyección, siga estos pasos:
Para calcular el error relativo de sus proyecciones, primero debe crear sus estimaciones. Puede crear sus estimaciones utilizando una variedad de métodos, eligiendo las opciones que cree que ofrecen los resultados más precisos. Por ejemplo, una empresa que proyecta tasas de uso en un servidor de juegos en línea puede analizar las tendencias de uso durante los meses anteriores para estimar cuántos usuarios esperan en el mes de próxima
Para comparar la precisión de sus proyecciones, también debe medir los números de rendimiento reales. Esto le proporciona un segundo punto de datos contra los cuales puede evaluar su desempeño. Usando el mismo ejemplo que el anterior, el desarrollador de la compañía puede registrar la cantidad de usuarios que acceden al servidor de juegos durante el mes. Esto proporciona a la empresa los datos reales del usuario, que pueden usar para analizar la efectividad de su proyección.
A continuación, puede determinar qué tan lejos estaban sus proyecciones y los resultados de rendimiento reales. Para mostrar si la proyección que creó excedió o estaba por debajo de los resultados de rendimiento reales, reste los datos reales de su proyección. Si se sobreestimó, esto debería devolver un número positivo, mientras que una subestimación devuelve un número negativo.
Aunque la restación le proporciona el error absoluto, para encontrar el error relativo, también debe calcular el tamaño de los resultados reales. Divida la diferencia resultante por los números de rendimiento reales para encontrar el error relativo. Este es típicamente un número decimal más pequeño que uno. También es posible que el resultado sea negativo si sus proyecciones estaban por debajo de los resultados de rendimiento reales.
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