¿Qué es un esquema?

Definición 33.20.1. Que $ K $ sea un campo. Un algebraico $ k $ -scheme es un esquema $ x $ más de $ k $, de modo que el morfismo de estructura $ x a mathop { mathrm {spec}} (k) $ es de tipo finito. Un algebraico localmente $ k $ -scheme es un esquema $ x $ más de $ k $, de modo que el morfismo de estructura $ x a mathop { mathrm {spec}} (k) $ es localmente de tipo finito.

Tenga en cuenta que cada algebraico $ K $ -Scheme es (localmente) noetheriano, ver morfismos, Lemma 29.15.6. La categoría de Schemes Algebraico $ K $ tiene todos los productos y productos de fibra (a diferencia de la categoría de variedades de más de $ K $). Del mismo modo para la categoría de Schemes $ k $-schemes algebraicos localmente.

Lema 33.20.2. Que $ K $ sea un campo. Deje que $ x $ sea un algebraico localmente $ k $ -scheme de dimensión $ 0 $. Entonces $ x $ es una unión disjunta de espectros de artiniano local $ k $ -algebras $ a $ con $ dim _ k (a) < infty $. Si $ x $ es un algebraico $ k $ -scheme de dimensión $ 0 $, entonces además $ x $ es afine y el morfismo $ x a mathop { mathrm {spec}} (k) $ es finito.

Prueba.
Deje que $ x $ sea un algebraico localmente $ k $ -scheme de dimensión $ 0 $. Deje que $ u = mathop { mathrm {spec}} (a) subset x $ sea un subumpido Affine Open. Ya que $ dim (x) = 0 $ vemos que $ dim (a) = 0 $. Por no normalización, ver Álgebra, Lemma 10.115.4 Vemos que existe una inyección finita $ K a A $, es decir, $ dim _ k (a) < infty $. Por lo tanto, $ a $ es artiniano, ver álgebra, Lemma 10.53.2. Esto implica que $ a = a_1 times ldots times a_ r $ es un producto de anillos locales artísticos finitamente, ver álgebra, lemma 10.53.6. Por supuesto, $ dim _ k (a_ i) < infty $ por cada $ i $ como la suma de estas dimensiones es igual a $ dim _ k (a) $.

Los argumentos anteriores muestran que $ x $ tiene una cobertura abierta cuyos miembros son espacios topológicos discretos finitos. Por lo tanto, $ x $ es un espacio topológico discreto. Se deduce que $ x $ es isomórfico para la unión disjunta de sus componentes conectados, cada uno de los cuales es un singleton. Dado que un esquema de singleton es afinado, concluimos (según los resultados del párrafo anterior) que cada uno de estos singletons es el espectro de un artiniano local $ k $-álgebra $ a $ con $ dim _ k (a) < infty $ .

Finalmente, si $ x $ es un algebraico $ k $ -scheme de dimensión $ 0 $, entonces $ x $ es cuasi-compact, por lo tanto, es una unión disjunta finita $ x = mathop { mathrm {spec}} (a_1) amalg ldots amalg mathop { mathrm {spec}} (a_ r) $ por lo tanto afine (ver esquemas, lemma 26.6.8) y hemos visto la finura de $ x a mathop { mathrm {spec}} ( k) $ en el primer párrafo de la prueba.
$ cuadrado $

¿Cómo se puede realizar un esquema?

«BackQuote» o «Quasiquote»
Las expresiones son útiles
para construir una lista o estructura vectorial cuando la mayoría pero no todos los
La estructura deseada se conoce de antemano. Si no
comas
aparecer dentro del