Supongamos que estamos tratando de generalizar algún resultado, por ejemplo, un teorema bien conocido o alguna teoría. La generalización debe mejorar el resultado de alguna manera. ¿Cuáles son las mejores tácticas para hacer esto?
Permítanme tratar de explicarlo mejor: en la forma común del aprendizaje, comenzamos a aprender cosas que son más fáciles de entender y luego vamos a cosas más complicadas, por ejemplo, en un curso de análisis aprendemos el teorema de la función inversa ( Ift) para espacios de Banach finitos-dimensionales. Si continuamos estudiando (por ejemplo, si usted es analista), en algún momento aprenderemos (o al menos escucharemos) el IFT para los espacios generales de Banach. Como podemos ver, este teorema incluye el caso finito-dimensional.
Para hacer este tipo de generalización, tenemos que intentar encontrar algunas propiedades que sean comunes para ambos casos. Además, la generalización, en algunos casos, debe contener algunas propiedades clave que no podemos ver cuando se trata solo con el caso estándar. Entonces, ¿cómo encontrar estas propiedades? ¿Cómo saber la mejor manera de generalizar algún tipo de propiedad?
Si mi pregunta no tiene sentido, no logre, no logre y lo siento por los ingleses.
Algunos resultados, como usted dice, es un teorema $ T_M $ que involucra instancias de alguna estructura $ M $. Encontrará un resultado más general exactamente que cuando considere una estructura más general $ m $ y construya un teorema $ t_m $ para el cual $ t_m = t_m $.
¿Cómo sacar la generalización?
- Razonamiento sobre la generalización
- Medición de generalización
- ¿Qué es la regularización?
- ¿Cómo funciona la regularización?
- Diferentes técnicas de regularización
- Elegir el método de regularización correcto
- Relacionar la generalización y la regularización
Comencemos la discusión comprendiendo lo que realmente significa la generalización.
El término «generalización» se refiere a la capacidad de un modelo para adaptarse y reaccionar apropiadamente a datos nuevos y no vistos previamente invisibles elegidos entre la misma distribución que la entrada inicial del modelo. En otras palabras, la generalización evalúa la capacidad de un modelo para procesar nuevos datos y generar predicciones precisas después de recibir capacitación en un conjunto de capacitación.
La capacidad de un modelo para generalizar es fundamental para su éxito. La capacitación excesiva en los datos de capacitación evitará que un modelo generalice. En tales casos, cuando se suministran nuevos datos, hará predicciones inexactas. Incluso si el modelo es capaz de hacer predicciones precisas basadas en el conjunto de datos de entrenamiento, se volverá ineficaz.
Esto se conoce como sobreajuste. Lo contrario también es cierto (poco acorralado), que ocurre cuando un modelo está entrenado con datos insuficientes. Incluso dados los datos de capacitación, su modelo no produciría predicciones correctas si estuviera innecesario. Esto haría que el modelo sea tan ineficaz como el sobreajuste.
El sobreajuste ocurre cuando una red funciona bien en el conjunto de entrenamiento, pero funciona mal en general. Si el conjunto de capacitación contiene regularidades involuntarias, la red puede superarse. Supongamos que si el trabajo es clasificar números escritos a mano, por ejemplo, es posible que todas las fotos de 9s en el conjunto de capacitación tengan píxeles número 122, mientras que todas las demás muestras lo tienen apagado.
¿Qué es la generalización en matemáticas?
Hay tres significados adjuntos a la generalización de la literatura. El primero es como sinónimo de abstracción. Es decir, el proceso de generalización es el proceso de «encontrar y señalar [de propiedades] en una clase completa de objetos similares. En este sentido, es sinónimo de abstracción (haga clic aquí para leer mi publicación sobre Abstracción). El segundo significado incluye la extensión (empírica o matemática) del concepto existente o una invención matemática. Quizás el ejemplo más famoso de este último es la invención de la geometría no euclidiana. El tercer significado define la generalización en términos de su producto. Si el producto de la abstracción es un concepto, el producto de la generalización es una declaración que relaciona los conceptos, es decir, un teorema.
Para una discusión adicional sobre estos significados, lea el documento de Michael Mitchelmore el papel de la abstracción y la generalización en el desarrollo del conocimiento matemático. Para la discusión sobre la importancia de la generalización y algún ejemplo de dar énfasis a ella en la enseñanza de álgebra, se recomienda altamente los enfoques del libro para el álgebra: perspectivas para la investigación y la enseñanza. Hay un capítulo sobre hacer generalizaciones y con tareas de muestra que ayudan a promover esta actitud.
Las investigaciones matemáticas y las tareas de resolución de problemas abiertas son formas de involucrar a los estudiantes para hacer generalizaciones. Las siguientes publicaciones describen lecciones de este tipo:
Por supuesto, no es solo el tipo de tareas o el diseño de la lección, sino también el entorno del aula lo que ayudará a promover la generalización y convertirlo en parte de la cultura del aula. Los estudiantes necesitarán un entorno de clase que les permita tiempo para la exploración y la reinvención. Necesitarán un entorno en el que se promueva una actitud de preguntas: «¿Eso siempre funciona?» , «¿Cómo sé que funciona»? Necesitarán un entorno que concuerda sus ideas, simples o diferentes que puedan ser.
¿Cuál es la generalización de una sucesión?
En la teoría de la probabilidad, la regla de sucesión es una fórmula introducida en el siglo XVIII por Pierre-Simon Laplace en el curso del tratamiento del amanecer. [1] La fórmula todavía se usa, particularmente para estimar las probabilidades subyacentes cuando hay pocas observaciones o para eventos que no se ha observado que ocurran en los datos de muestra (finitos).
Si repitemos un experimento que sabemos que puede dar lugar a un éxito o un fracaso, n veces de forma independiente, y obtener los éxitos y fallas de N – S, entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la próxima repetición tenga éxito?
Dado que tenemos el conocimiento previo de que estamos viendo un experimento para el cual tanto el éxito como el fracaso son posibles, nuestra estimación es como si hubiéramos observado un éxito y una falla segura antes de que incluso comenzaramos los experimentos. En cierto sentido, hicimos observaciones n + 2 (conocidas como pseudocounts) con éxitos S + 1. Aunque esto puede parecer la suposición más simple y razonable, que también es cierto, todavía requiere una prueba. De hecho, asumir una pseudocount de una por posibilidad es una forma de generalizar el resultado binario, pero tiene consecuencias inesperadas; ver generalización a cualquier número de posibilidades, a continuación.
Sin embargo, si no hubiéramos sabido desde el principio que tanto el éxito como el fracaso son posibles, entonces habríamos tenido que asignar
Pero vea los detalles matemáticos, a continuación, para un análisis de su validez. En particular, no es válido cuando s = 0 { displayStyle s = 0}, o s = n { displayStyle s = n}.
¿Que utiliza el álgebra para lograr la generalización?
La generalización y la abstracción juegan un papel importante en las mentes de los estudiantes de matemáticas mientras estudian conceptos de nivel superior. En el segundo capítulo del libro de Springer, el pensamiento matemático avanzado, Tommy Dreyfus define la generalización como la derivación o inducción de algo particular a algo general al observar las cosas comunes y expandir sus dominios de validez. A medida que enseñamos nuestros propios cursos de matemáticas, podemos buscar oportunidades para introducir la generalización y la abstracción para ayudar a nuestros estudiantes a comprender mejor el patrón detrás de lo que están aprendiendo.
Dreyfus dice que numerosos objetos matemáticos, como ecuaciones, números y funciones, se pueden expresar en el aula en el contexto de la generalización para que los estudiantes se sientan más cómodos con los próximos temas matemáticos. Pero puede requerir más esfuerzo mental para que los estudiantes generalicen los conceptos, y de acuerdo con mi experiencia docente, los estudiantes tienden a no hacer todo lo posible para generalizar un concepto matemático si no reciben una buena orientación de su maestro. Creo que los estudiantes no nacen como matemáticos, pero nacen con un cerebro que puede mejorarse creativamente al continuar con la práctica de generalización que luego puede conducir a la abstracción.
Por ejemplo, cuando enseñé Cálculo II en el otoño de 2015, en la serie de telescopio y geométrica, el curso de Lessis, enseñó a mis alumnos cómo usar la generalización comenzando con un ejemplo simple de encontrar las primeras sumas parciales para 1+2+3+4+5+. ., Y luego hablé sobre la relación entre sumas parciales y series infinitas. Este método presenta a los estudiantes el concepto matemático que comienza desde algo simple y fácil y luego avanza hacia las bases subyacentes más generales.
¿Qué es la generalización en el álgebra?
Hace años, cuando enseñé tercer grado, hicimos mucho trabajo para hacer generalizaciones basadas en la adición o multiplicación de dos números. Aquí hay una gran publicación de blog que encontré usando generalizaciones de manera diferente para los niños mayores.
Las generalizaciones son donde los estudiantes cuentan sobre el patrón que ven en la relación de un cierto grupo de números. Es un patrón que siempre es cierto. Probablemente enseñamos esto todo el tiempo sin darnos cuenta. Por ejemplo, hacer que los alumnos de primer grado miren un gráfico de los años 100 y generalicen que subir o bajar es sumar o restar 10.
Nuestra clase ha estado haciendo muchos patrones de conteo últimamente. Comencé mi lectura de verano un poco temprano y decidí probar algunas rutinas con la clase de este año. Realmente me gustan las rutinas de conteo y espero usarlas a principios de año del próximo año.
Una cosa que he agregado es hacer generalizaciones. Hemos hecho un montón de contados hacia adelante o hacia atrás a las 10. El jueves, contamos hacia adelante por 5 a partir de las 83 o algo así. Fue interesante ver qué estudiantes podían separarse 5 en 2 + 3 y con qué los estudiantes contaban. Algunos necesitaban un poco más de ayuda.
Después de nuestra rutina de conteo, hicimos algunas generalizaciones sobre el recuento por 5s. Acabamos de hacer esto oralmente, a través de una discusión. También revisamos el conteo de los 10 e hicimos algunas generalizaciones sobre el recuento de 10, nuevamente, justo por vía oral.
¿Cómo se lleva a cabo la generalización?
La generalización se observa cuando los alumnos participan en las habilidades que les enseñamos en condiciones no capacitadas pero similares. La generalización se puede observar a través de estímulos, personas y entornos. La generalización a través de los estímulos se observa cuando el alumno puede realizar la habilidad en presencia de una cosa o situación novedosa. Por ejemplo, si ha estado enseñando al alumno a participar en la resolución de problemas y el alumno comienza a resolver de forma independiente problemas no entrenados nuevos, se ha observado la generalización entre los estímulos. La generalización entre las personas se refiere a que el alumno puede participar en la habilidad en presencia de personas distintas de las que estuvieron presentes durante la capacitación. Por ejemplo, la generalización entre las personas se observa si se enseña al alumno a seguir una rutina matutina en presencia de mamá y todavía puede seguir la rutina cuando mamá está fuera de la ciudad y papá está presente. La generalización a través de la configuración se refiere al alumno que demuestra la habilidad en un entorno no entrenado. Un ejemplo sería si al alumno se le enseñara a participar en la gestión del tiempo cuando estaba en casa y ahora también puede participar en la gestión del tiempo en la escuela.
La generalización es el resultado que define el dominio. Es decir, una habilidad no debe considerarse dominada hasta que se observe la generalización. De lo contrario, corre el riesgo de tener la posibilidad de que el alumno demuestre la memorización de las respuestas en lugar de comprender los conceptos y poder aplicarlos en nuevas circunstancias no entrenadas. Existen varias estrategias que se pueden implementar para el programa de generalización durante la enseñanza.
Para programar la generalización en los estímulos, proporcione nuevas situaciones y escenarios cada vez que la habilidad se dirige en un esfuerzo por garantizar que el alumno esté adquiriendo el repertorio objetivo en lugar de memorizar respuestas. Este procedimiento se llama entrenamiento ejemplar múltiple y es la clave para lograr la generalización. Por ejemplo, en la lección de resolución de problemas, proporcione un nuevo problema cada vez que se dirige la lección, y en la lección de espacios personales de organización, haga que el alumno organice un nuevo espacio cada vez que se dirige la lección, y así sucesivamente. Una vez que el alumno puede responder consistentemente correctamente a nuevas situaciones no entrenadas, se ha producido una generalización de estímulo y se puede decir que el alumno ha dominado la habilidad.
Puede programar una generalización entre las personas haciendo que varios cuidadores realicen las tareas con el alumno. Entrena a los cuidadores del alumno para asegurarse de que no anticipan las necesidades del alumno y hacen todo por ellos, sino que permiten que el alumno use las habilidades que se han dirigido durante la enseñanza cuando surgen oportunidades. Por ejemplo, un niño nunca aprenderá a ser independiente con la resolución de problemas si sus padres resuelven todos sus problemas por ella, sin darle la oportunidad de hacerlo ella misma.
Programa de generalización a través de entornos trabajando en habilidades específicas en diversos entornos, como en diferentes habitaciones de la casa del alumno, en la escuela y en otros entornos relevantes. Además de la programación para la generalización a través de oportunidades de enseñanza artificial, captura oportunidades que permitan al alumno continuar utilizando habilidades recién enseñadas cuando ocurren oportunidades en la vida cotidiana. Por ejemplo, cuando enseñe flexibilidad, use cada oportunidad que surja naturalmente para enseñar al alumno a tolerar que las cosas no van de la forma en que cree que deberían ir. ¡No restrinja la enseñanza a las lecciones artificiales específicas que ha planeado!
¿Por qué una variable se considera un número generalizado?
¿Qué es una variable, de todos modos? Los educadores de matemáticas tienen muchas respuestas complejas.
En su artículo «Sobre el desarrollo de una rica concepción de variable» (parte de este volumen sobre educación matemática de pregrado), Maria Trigueros y Sally Jacobs escriben: «A diferencia del concepto de función, por ejemplo, la variable no tiene una definición matemática precisa. Ha llegado a ser un término todo para cubrir una variedad de usos de letras en expresiones y ecuaciones «. A partir de una encuesta de una escritura diferente, este punto de vista, que no existe una definición única de variable y cada uso debe entenderse en una especie de análisis de casos separados, es ampliamente aceptada.
En este artículo, me gustaría desafiar esta noción. De hecho, una definición muy simple es suficiente: una variable es solo un nombre que representa un valor. Por supuesto, las variables todavía se usan con un contexto y propósito diferentes. Sin embargo, en lugar de introducir variable como una palabra difusa con muchas definiciones, los educadores harían mejor para obtener una definición simple y luego pasar a considerar cómo esta idea unificadora se puede usar para comunicarse y razonar de varias maneras.
Un análisis típico del significado de las variables enumera varias definiciones, clasificando cada uso de variables como una de ellas. Por ejemplo:
- Las incógnitas son variables que representan un valor que aún no se conoce, y deben descubrirse resolviendo una ecuación.
- Los números generalizados son variables que representan cualquier número para hacer declaraciones generales como (A + B) + C = A + (B + C).
¿Cuál es la diferencia entre un número y una variable?
Variable y constante son dos conceptos matemáticos de uso común. En pocas palabras, una variable es un valor que está cambiando o tiene la capacidad de cambiar. Una constante es un valor que permanece sin cambios. Aunque los conceptos son fundamentales en muchos aspectos de las matemáticas, en un nivel elemental, se usa principalmente en álgebra.
Dado que los conceptos son una parte integral de las matemáticas modernas, cada aplicación de esto puede incluir variables y constantes en muchas formas. Los conceptos se derivan de otros campos, como la física y la informática, por esta razón.
En el contexto matemático, una variable es una cantidad que tiene un tamaño variable o variable. Comúnmente (en álgebra), está representado por una carta inglesa o griega. Es una práctica común llamar a esta carta simbólica la variable.
Las variables se utilizan en ecuaciones, identidades, funciones e incluso en geometría. Pocos uso de las variables son los siguientes. Las variables se pueden usar para representar incógnitas en ecuaciones como x2-2x + 4 = 0. También puede representar una regla entre dos cantidades desconocidas como y = f (x) = x3 + 4x + 9. En probabilidad y estadísticas, Una variable aleatoria es una variable que puede asumir diferentes estados o eventos en el conjunto considerado de eventos. En matemáticas, es costumbre subrayar los valores válidos para la variable, que se llama intervalo. Estas limitaciones se deducen de las propiedades generales de la ecuación o por definición.
Las variables también se clasifican según su comportamiento. Si los cambios en la variable no se basan en otros factores, se llama variable independiente. Si los cambios en la variable se basan en algunas otras variables, entonces se conoce como una variable dependiente. En estadísticas, las variables independientes y de empleados se definen respectivamente como una variable explicativa y variable de respuesta.
¿Cómo se llama la variable que puede tomar un valor de un conjunto de números?
Por ejemplo, un bit o un booleano puede ser 0 o 1, por lo que el número 2 está asociado con él. Del mismo modo, para un byte que es 8 bits, el número máximo de tareas diferentes sería 2^8.
Cuando pasamos todo a través de nuestro sistema que tiene ECMAScript, Java y MySQL, entonces un booleano no tiene solo dos tareas posibles. Por ejemplo, un booleano falso se guarda como un 0 y el valor en caja podría ser nulo para que un booleano de repente pueda ser verdadero, falso, 0, 1, nulo o incluso indefinido o Creo que podría ser problemático en las pruebas para garantizar que los valores no sean inconsistentes. Por ejemplo, un valor booleano bloqueado podría volverse nulo y luego, cuando un script o una plantilla de diseño lo evalúa, se evaluará en falso en algún lugar si el valor real era nulo y problemas similares. Entonces, ¿por qué no siempre afirmamos que un booleano tiene el mismo número de valores posibles (2 valores) y de manera similar para otros tipos? Hay un término matemático llamado «aridad» que es algo similar pero no exactamente, y las estadísticas y la teoría de la probabilidad también tienen el concepto de «espacio para eventos» que sería casi exactamente lo que quiero decir. Por ejemplo, el espacio de eventos para un booleano sería el conjunto {0,1} que tiene Cardinality 2 y esa cardinalidad no se conserva en todo el sistema, especialmente cuando los datos se pasan como políglotas y/o serializados (JSON, JSONP, xml, yaml). Lo llamaría cardinalidad (y de hecho lo he usado en ese sentido). Es estrictamente la cardinalidad del conjunto de todos los valores que puede tomar una variable. Artículos Relacionados:
