Los conjuntos finitos y los conjuntos infinitos son totalmente diferentes entre sí. Como su nombre indica, el conjunto finito es contable y contiene un número finito de elementos. El conjunto que no es finito se conoce como el conjunto infinito. El número de elementos presentes en un conjunto infinito no es finito y se extiende hasta el infinito. Tenga en cuenta que podemos tener conjuntos infinitos contables, como el conjunto de números racionales. Nos encontramos con varios conjuntos finitos y conjuntos infinitos en nuestra vida cotidiana.
En este artículo, exploraremos el concepto de conjuntos finitos y conjuntos infinitos, sus definiciones y sus propiedades. También comprenderemos la diferencia entre conjuntos finitos y conjuntos infinitos con la ayuda de ejemplos para una mejor comprensión.
Los conjuntos finitos tienen un número finito o contable de elementos. También se conoce como conjuntos contables, ya que se pueden contar los elementos presentes en ellos. En el conjunto finito, el proceso de contar elementos llega a su fin. Los elementos iniciales y finales están presentes en el conjunto. Los conjuntos finitos se pueden representar fácilmente en forma de notación de la lista. Por ejemplo, el conjunto de vocales en alfabetos en inglés, establecido A = {a, e, i, o, u} es un conjunto finito ya que el número de elementos del conjunto es finito.
Los conjuntos finitos se definen como conjuntos con un número finito de elementos. Se pueden contar elementos de conjuntos finitos. Tenga en cuenta que todos los conjuntos finitos son contables, pero no todos los conjuntos contables son finitos. Por ejemplo, considere un conjunto de números incluso naturales inferiores a 11, a = {2, 4, 6, 8, 10}. Como podemos ver, el set A tiene 5 elementos, que es un número finito y los elementos se pueden contar.
Los conjuntos infinitos se pueden entender como conjuntos que no son finitos. Los elementos de los conjuntos infinitos son infinitos, es decir, infinitos. Si algún conjunto es interminable desde el inicio o el final o ambas partes que tienen continuidad, entonces podemos decir que el conjunto es infinito. Por ejemplo, el conjunto de números enteros, w = {0, 1, 2, 3, …… ..} es un conjunto infinito ya que el número de elementos es infinito. El conjunto de números reales es un ejemplo de incontables conjuntos infinitos. Los elementos de un conjunto infinito están representados por puntos ya que los puntos representan el infinito del conjunto.
¿Cuándo se utiliza la fórmula finita e infinita?
Srinivasa Ramanujan escribió en el Capítulo 8 de su cuaderno [1] que la suma de los números naturales 1+2+3+4… = −1/12. { DisplayStyle 1+2+3+4 ldots = -1/ 12.} Esta conclusión se produjo después de haber notado que la serie 1+2+3+4 podría transformarse… { Displaastyle 1+2+3+4 ldots} en 1 – 2+3 – 4+· · · · · Restando de 4 a segundo término, 8 al cuarto, 12 en el sexto y así sucesivamente. El total total fue, por lo tanto, 4+8+12+16…, { Dongestyle 4+8+12+16 ldots,}, es decir, cuatro veces la serie original, por lo tanto, llamando a la serie c { displayStyle c},
Ramanujan escribe una segunda vez sobre esta serie en una carta dirigida a Godfrey Harold Hardy y fechada el 27 de febrero de 1913.
Obviamente, dado que es una suma que pasa al infinito, la «demostración» de Ramanujan no es aplicable en la práctica, ya que en este caso nos vemos obligados a detener la secuencia, obteniendo un resultado positivo. Por lo tanto, la serie infinita debe manejarse primero encontrando la suma de la función general y luego pasar al límite al infinito. De hecho, si la serie infinita se manipulan como si estuvieran terminadas (como en la «solución» reportada por Ramanujan), es posible demostrar prácticamente cualquier resultado (ver sofismo álgebral).
Una mejor interpretación de la igualdad (falso) 1+2+3+4… = −1/12 { displayStyle 1+2+3+4 ldots = -1/12} está considerando la función zeta de riemann:
Para cada complejo de números { DysplayStyle s} de Parte Royal (s) { SPLASTYLE MATHRM {RE} (S)} mayor que 1 { DisplayStyle 1}. Usando la extensión analítica de esta función, se puede demostrar que ζ (−1) = -1/12 { dongestyle zeta (-1) = -1/12} y observando que ∑n = 1ken = 1+ 2+ 3 +4… { Dysplayle Sum _ {n = 1}^{ infty} { fracc {1} {n^{-1}} = 1+2+3+4 ldots}, sí, él obtiene la igualdad ( Falso) 1+2+3+4… = −1/12 { desplazando 1+2+3+4 ldots = -1/12}. La igualdad es falsa ya que la definición de ζ { displaysle zeta} en forma de estándar no es válida en –1 { displayStyle -1} (y no es en general para todos los números que tienen una parte real real o igual a 1 1 ), es decir, no es cierto que ζ (−1) = 1+2+3+4… { dongestyle zeta (-1) = 1+2+3+4 ldots}.
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