En matemáticas, un grupo es un conjunto y una operación que combina dos elementos del conjunto para producir un tercer elemento del conjunto, de tal manera que la operación es asociativa, existe un elemento de identidad y cada elemento tiene un inverso. Estos tres axiomas se mantienen para los sistemas numéricos y muchas otras estructuras matemáticas. Por ejemplo, los enteros junto con la operación de adición forman un grupo. El concepto de un grupo y los axiomas que lo definen fue elaborado para el manejo, de manera unificada, propiedades estructurales esenciales de entidades matemáticas muy diferentes, como números, formas geométricas y raíces polinomiales. Debido a que el concepto de grupos es ubicuo en numerosas áreas tanto dentro como fuera de las matemáticas, algunos autores lo consideran como un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas. [1] [2]
- Para todos los enteros a { displaystyle a}, b { displaystyle b} y c { displaystyle c}, uno tiene (a+b)+c = a+(b+c) { displaystyle (a+b)+c = a+(b+c)}. Expresado en palabras, agregando un { displaystyle a} a b { displaystyle b} primero, y luego agregando el resultado a c { displaystyle c} da el mismo resultado final que agregar una { displayStyle a} a la suma de B { DisplayStyle B} y C { DisplayStyle C}. Esta propiedad se conoce como asociatividad.
- Si a { displayStyle a} es cualquier número entero, entonces 0+a = a { displayStyle 0+a = a} y a+0 = a { displayStyle a+0 = a}. Zero se llama elemento de identidad de suma porque agregarlo a cualquier entero devuelve el mismo entero.
- Para cada entero a { displayStyle a}, hay un entero b { displaystyle b} tal que a+b = 0 { displaystyle a+b = 0} y b+a = 0 { displayStyle b+a = 0 }. El entero b { displayStyle b} se llama elemento inverso del número entero a { displayStyle a} y se denota −a { displayStyle -a}.
Los enteros, junto con la operación +{ displaystyle +}, forman un objeto matemático que pertenece a una clase amplia que comparte aspectos estructurales similares. Para comprender adecuadamente estas estructuras como colectivas, se desarrolla la siguiente definición.
Los axiomas para un grupo son cortos y naturales… pero de alguna manera ocultos detrás de estos axiomas se encuentra el grupo monstruo simple, un objeto matemático enorme y extraordinario, que parece confiar en numerosas extrañas coincidencias para existir. Los axiomas para los grupos no dan una pista obvia de que algo como esto existe.
Un grupo es un setg { displaystyle g} junto con una operación binaria en g { displaystyle g}, aquí denotado «⋅ { displaystyle cdot}», que combina dos elementos { displaystyle a} y b { displaystyle b} para formar un elemento de g { displayStyle g}, denotado A⋅B { DisplayStyle A CDOT B}, de modo que se cumplan los siguientes tres requisitos, conocidos como axiomas grupales: [5] [6] [7 ][a]
¿Cómo se define a un grupo?
Estos axiomas están satisfechos con numerosas estructuras algebraicas, como enteros con la operación de adición, pero son mucho más generales e independientes de la naturaleza particular del grupo considerado. De esta manera, se hace posible trabajar de manera flexible con objetos y orígenes matemáticos muy diferentes, reconociendo algunos aspectos estructurales comunes importantes. El papel clave de los grupos en numerosas áreas internas y externas a las matemáticas lo convierte en uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas modernas.
Un grupo es un conjunto { donnestyle g} equipado con una operación binaria ∗ { displayStyle *}, que para cada par de elementos a { donnestyle a}, b { displayStyle b} de g { dongeystyle g} asocia y asocia un Elemento, que indicamos con a ∗ b { splatyle a*b}, perteneciente a g { dongestyle g}, para el cual se satisfacen los siguientes axiomas: [1]
- Existencia del elemento neutro: hay un elemento neutro { splawyle y} en comparación con la operación ∗ displaystyle *}, es decir, tal que ∗ e = y ∗ a = a { dongestyle a *allí e = e *a = a} para cada uno a { splawyle a} perteneciente a g { splatyle g}.
- Existencia inversa: para cada elemento a { splawyle a} de g { splawyle g} hay un elemento para ′ { displaystyle a ‘}, dijo en reverso a un { displaystyle a}, de modo que a ∗ a ’= = = A ′ ′ ∗ a = e { displayStyle a*a ‘= a’*a = e}.
Es importante resaltar que la estructura de grupo consta de dos objetos: el conjunto G { DisplayStyle G} y la operación binaria ∗ { DisplayStyle *} en él. Sin embargo, para simplificar, se usa para denotar un grupo con el único símbolo del todo en el que se «construye el grupo», si la operación es clara desde el contexto y no existe riesgo de confusión.
Se dice que un grupo es conmutativo (o abeliano) si la operación es conmutativa, es decir, cumple con la relación con ∗ b = b ∗ a { displaystyle a*b = b*a} para cada pareja a { displaystyle a }, b { displaystyle b} de elementos de g { displaystyle g}. [2]
¿Cómo se pueden definir los grupos?
Considere un objeto (x ) con algunas simetrías (s ). Hemos visto que podemos componer cualquiera de las simetrías en (s ) y obtener otra simetría de (x ). También hemos visto que estas simetrías obedecen ciertas reglas. Ahora podemos, por fin, definir un grupo.
Un grupo es un conjunto (s ) con una operación ( circ: s times s rectarrow s ) satisface las siguientes propiedades:
- Identidad: existe un elemento (e in s ) de tal manera que para cualquier (f en s ) tenemos (e circ f = f circ e = f ).
- Inversos: para cualquier elemento (f in s ) existe (g en s ) tal que (f circ = e ).
Una noción esencial en matemáticas es la abstracción. Tenga en cuenta que nuestra definición ciertamente se aplica a cualquier colección (s ) de simetrías de un objeto, ¡pero de hecho hay otros contextos en los que se aplican las definiciones! La operación puede ser cualquier forma de combinar dos cosas en (S ) y recuperar otra; (S ) no necesita ser una colección de funciones, y la operación no necesita ser composición. ¡Un grupo se define puramente por las reglas que sigue! Este es nuestro primer ejemplo de una estructura algebraica; Todos los demás que conocemos seguirán una plantilla similar: un conjunto con algunas operaciones que siguen algunas reglas particulares.
Por ejemplo, considere los enteros ( mathbb {z} ) con la operación de suma. Para verificar que los enteros formen un grupo, necesitamos verificar cuatro cosas:
- Identidad: existe un elemento (e in s ) de tal manera que para cualquier (f en s ) tenemos (e circ f = f circ e = f ).
- Inversos: para cualquier elemento (f in s ) existe (g en s ) tal que (f circ = e ).
Por lo tanto, los enteros, con la operación de suma, forman un grupo.
¿Qué función tiene un grupo?
Examinar el fenómeno de los cultos o los nuevos movimientos religiosos es un esfuerzo difícil. ¿Cómo se pueden definir estos términos sin etiquetar grupos como buenos, malos, manipuladores o violentos? Para evitar ver estos grupos simplemente en esos términos, este capítulo propone volver a lo básico. Dado que los cultos o los movimientos religiosos son grupos que reúnen a una variedad de individuos que comparten valores comunes, el estudio de los fenómenos de culto debería comenzar con una comprensión del funcionamiento del grupo.
En la vida diaria, los grupos FN 21 pueden proporcionar un espacio tranquilizador para la participación social y el intercambio, pero también para la exclusión y la brutalidad psicológica. Por lo tanto, examinaremos los elementos que influyen en el funcionamiento del grupo y la experiencia individual de los miembros para comprender por qué algunas experiencias son armoniosas y otras problemáticas. Para arrojar luz sobre esta pregunta, este capítulo proporciona una introducción a una comprensión general de cómo funcionan los grupos y sus efectos sobre la experiencia de los miembros del grupo individual.
Observaremos el funcionamiento interno y externo de los grupos. El término funcionamiento interno se utiliza para describir la dinámica del grupo interno, es decir, su estructura, proceso de socialización y las relaciones entre los miembros del grupo. El funcionamiento externo se refiere a las relaciones entre grupos y otras organizaciones.
En la vida diaria, ya sea en la escuela, en el trabajo o durante el tiempo libre, las personas generalmente respetan varias normas, reglas o leyes para adaptarse al medio ambiente o al grupo al que pertenecen. Pero, ¿qué son las normas? ¿Cómo influyen en la vida cotidiana de los miembros? La siguiente sección proporciona algunas respuestas a estas preguntas.
¿Qué funciones pueden tener los integrantes de un grupo?
Así como los líderes han sido estudiados durante mucho tiempo como parte de la investigación de la comunicación grupal, también lo han hecho los roles de los miembros del grupo. Los roles grupales son más dinámicos que los roles de liderazgo en que un papel puede ser formal o informal y desempeñados por más de un miembro del grupo. Además, un miembro del grupo puede exhibir varios comportamientos de roles dentro de una reunión grupal única o desempeñar algunos roles consistentes en el transcurso de su participación en un grupo. Los comportamientos del papel de algunas personas resultan de sus rasgos de personalidad, mientras que otras personas representan un cierto papel debido a un estado de ánimo a corto plazo, como reacción a otro miembro del grupo, o por necesidad. Los académicos de comunicación grupal nos han advertido que no siempre pensemos en estos roles como categorías con todo incluido perfectamente limitado. Después de todo, todos desempeñamos múltiples roles dentro de un grupo y debemos aprovechar múltiples comportamientos de comunicación para jugarlos con éxito. Cuando alguien exhibe continuamente un comportamiento particular, puede etiquetarse como un papel, pero incluso los comportamientos aislados pueden afectar el funcionamiento del grupo. En esta sección, discutiremos las tres categorías de roles grupales comunes que fueron identificados por los primeros académicos de comunicación grupal. Estas categorías de roles incluyen roles relacionados con las tareas, roles de mantenimiento y roles individuales que son egocéntricos o improductivos para el grupo (Benne & Sheats, 1948).
Los roles de tareas y sus comportamientos relacionados contribuyen directamente a la finalización del grupo de una tarea o logro de su objetivo o propósito. Los roles relacionados con la tarea generalmente sirven a funciones de liderazgo, informativa o procedimiento. En esta sección discutiremos los siguientes roles y comportamientos: líder de tareas, expedidor, proveedor de información, buscador de información, guardián y grabadora.
Dentro de cualquier grupo, puede haber un líder de tareas que tenga un estatus de grupo alto debido a su madurez, habilidades de resolución de problemas, conocimiento y/o experiencia y funciones de liderazgo principalmente para ayudar al grupo a completar su tarea (Cragan & Wright, 1991). Esta persona puede ser un líder designado o emergente, pero en cualquier caso, los líderes de tareas tienden a hablar más durante las interacciones grupales que otros miembros del grupo y también tienden a hacer más trabajo en el grupo. Dependiendo de la cantidad de tareas que tiene un grupo, puede haber más de un líder de tareas, especialmente si las tareas requieren diferentes conjuntos de habilidades o conocimientos. Debido a las responsabilidades adicionales de ser un líder de tareas, las personas en estos roles pueden experimentar niveles más altos de estrés. Sin embargo, las tensiones de un líder de tareas pueden disminuir a través de algunos de los comportamientos de rol de mantenimiento que discutiremos más adelante.
¿Qué es un grupo y cuáles son sus características?
Un grupo puede definirse como un conjunto de personas que interactúan entre sí con cierta regularidad. Las interacciones entre los miembros del grupo se basan en una serie de expectativas sobre el comportamiento de los miembros, formas de comportamiento que no requieren aquellos que no pertenecen al grupo en cuestión.
La estructura de los grupos se caracteriza por las dimensiones (pequeñas, medianas, grandes), por las razones (voluntarias, involuntarias), por las relaciones (primaria, es decir, las personas que interactúan directamente y están vinculadas por limitaciones emocionales o secundarias, caracterizado por interacciones indirectas y determinado por fines prácticos), con un propósito compartido y desde el nacimiento (formal, informal).
En el contexto de la psicología social, ha habido autores que describieron las interacciones intragrupales, es decir, la dinámica interna para un grupo social específico, y los autores que han descrito la dinámica intergrupal, es decir, entre diferentes grupos.
Respectivamente, Lewin puede mencionarse con la teoría de campo y la teoría de canales para el cambio social, y Tajfel, con la teoría de la identidad social.
Kurt Lewin en la década de 1940 desarrolló la teoría del campo y la teoría de los canales. Estas teorías sufren profundas influencias de dos campos de psicología: Gestalt y Psicoanálisis. La psicología de Gestalt sobre todo influye en el método de estudio lewiniano, ya que trae el estudio experimental fuera del laboratorio, adoptando un método y actitud fenomenológica. El psicoanálisis, por otro lado, toma gran importancia para el concepto de dinamismo, presente en todas las teorizaciones de Lewin.
¿Qué características permiten definir a un grupo?
Diferentes grupos tienen diferentes características, tienen diferentes propósitos y pueden conducir a experiencias positivas, neutrales o negativas. Si bien nuestras relaciones interpersonales se centran principalmente en la construcción de relaciones, los grupos pequeños generalmente se centran en algún tipo de finalización de tareas o logro de objetivos. Una comunidad de aprendizaje universitario se centró en matemáticas y ciencias, un equipo de campaña para un senador estatal y un grupo de agricultores orgánicos locales son ejemplos de pequeños grupos que tendrían un tamaño, estructura, identidad y patrón de interacción diferente.
No hay un número establecido de miembros para el grupo pequeño ideal. Un grupo pequeño requiere un mínimo de tres personas (porque dos personas serían un par o díada), pero la gama superior del tamaño del grupo depende del propósito del grupo. Cuando los grupos crecen más de quince a veinte miembros, se hace difícil considerarlos un grupo pequeño basado en la definición anterior. Un análisis del número de conexiones únicas entre miembros de grupos pequeños muestra que son engañosamente complejos. Por ejemplo, dentro de un grupo de seis personas, hay quince conexiones diádicas potenciales separadas, y un grupo de doce personas tendría sesenta y seis conexiones diádicas potenciales. Owen Hargie, interacción interpersonal calificada: investigación, teoría y práctica, 5ª ed. (Londres: Routledge, 2011), 452–53. Como puede ver, cuando duplicamos el número de miembros del grupo, dupamos más del número de conexiones, lo que muestra que los puntos de conexión de red en pequeños grupos crecen exponencialmente a medida que aumenta la membresía. Por lo tanto, si bien no hay un límite superior establecido en el número de miembros del grupo, tiene sentido que el número de miembros del grupo se limite a los necesarios para lograr el objetivo o cumplir con el propósito del grupo. Los grupos pequeños que agregan demasiados miembros aumentan el potencial para que los miembros del grupo se sientan abrumados o desconectados.
Las influencias internas y externas afectan la estructura de un grupo. En términos de influencias internas, las características de los miembros juegan un papel en la formación del grupo inicial. Por ejemplo, una persona que está bien informada sobre la tarea del grupo y/o altamente motivada como miembro del grupo puede surgir como líder y poner en marcha procesos de toma de decisiones internas, como reclutar nuevos miembros o asignar roles grupales, que afecten el Estructura de un grupo. Donald G. Ellis y B. Aubrey Fisher, Toma de decisiones en grupos pequeños: comunicación y proceso grupal, 4ª ed. (Nueva York: McGraw-Hill, 1994), 57. Diferentes miembros también gravitarán hacia diferentes roles dentro del grupo y abogarán por ciertos procedimientos y cursos de acción sobre otros. Factores externos como el tamaño del grupo, la tarea y los recursos también afectan la estructura del grupo. Algunos grupos tendrán más control sobre estos factores externos a través de la toma de decisiones que otros. Por ejemplo, una comisión que es reunida por un organismo legislativo para analizar violaciones éticas en las organizaciones deportivas probablemente tendrá menos control sobre sus factores externos que un club de lectura semanal creado.
Un grupo de estudio autoformado probablemente tenga una estructura más flexible que un comité del Consejo de la Ciudad.
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