El análisis dimensional es una técnica matemática utilizada para predecir los parámetros físicos que influyen en el flujo en la mecánica de fluidos, la transferencia de calor en la termodinámica, etc. El análisis involucra las unidades fundamentales de las dimensiones MLT: masa, longitud y tiempo. Es útil en el trabajo experimental porque proporciona una guía de factores que afectan significativamente los fenómenos estudiados.
El análisis dimensional se usa comúnmente para determinar las relaciones entre varias variables, es decir, encontrar la fuerza en función de otras variables cuando se desconoce una relación funcional exacta. Según la comprensión del problema, asumimos una cierta forma funcional.
Un método elemental para encontrar una relación funcional con respecto a un parámetro en interés es el método de Rayleigh, y se ilustrará con un ejemplo, utilizando el sistema MLT.
Digamos que estamos interesados en el arrastre, D, que es una fuerza en un barco. ¿De qué es exactamente la función de arrastre? Estas variables deben elegirse correctamente, aunque la selección de tales variables depende en gran medida de la experiencia de uno en el tema. Se sabe que la resistencia depende de
Esto significa que d = f (l, ρ, μV, g) donde F es alguna función.
Con el método de Rayleigh, suponemos que d = Claρbμcvdge, donde C es una constante adimensional, y A, B, C, D y E son exponentes, cuyos valores aún no se conocen.
Tenga en cuenta que las dimensiones del lado izquierdo, la fuerza, deben igualar las del lado derecho. Aquí, usamos solo las tres dimensiones independientes para las variables en el lado derecho: M, L y T.
¿Cuáles son los metodos de análisis dimensional?
Las cantidades físicas conmensurables son del mismo tipo y tienen la misma dimensión, y pueden compararse directamente entre sí, incluso si se expresan originalmente en diferentes unidades de medida, p. yardas y metros, libras (masas) y kilogramos, segundos y años. Las cantidades físicas inconmensurables son de diferentes tipos y tienen diferentes dimensiones, y no pueden compararse directamente entre sí, sin importar en qué unidades se expresen originalmente, p. metros y kilogramos, segundos y kilogramos, metros y segundos. Por ejemplo, preguntar si un kilogramo es más grande que una hora no tiene sentido.
Cualquier ecuación físicamente significativa, o desigualdad, debe tener las mismas dimensiones en sus lados izquierdo y derecho, una propiedad conocida como homogeneidad dimensional. La verificación de la homogeneidad dimensional es una aplicación común del análisis dimensional, que sirve como una verificación de plausibilidad en ecuaciones y cálculos derivados. También sirve como una guía y una restricción para derivar ecuaciones que pueden describir un sistema físico en ausencia de una derivación más rigurosa.
Joseph Fourier introdujo el concepto de dimensión física, y de análisis dimensional en 1822. [1]
El teorema de Buckingham π describe cómo cada ecuación físicamente significativa que involucra n variables puede reescribirse de manera equivalente como una ecuación de parámetros n -m adimensionales, donde M es el rango de la matriz dimensional. Además, y lo más importante, proporciona un método para calcular estos parámetros adimensionales de las variables dadas.
¿Cuál es la aplicación del análisis dimensional?
El análisis dimensional se utiliza para resolver problemas en la física de la vida real. Hacemos uso del análisis dimensional por cinco razones destacadas:
- Encontrar la unidad de una cantidad física en un sistema de unidades determinado
- Encontrar dimensiones de constantes o coeficientes físicos
- Convertir una cantidad física de un sistema a otro
- Verificar la corrección dimensional de una relación física dada
- Herramienta para la investigación para obtener nuevas relaciones
Intentemos comprender cada aplicación de análisis dimensional en detalle-
El empleado de James Maxwell y Jenkin inventaron la fórmula dimensional a principios de la década de 1860 para la conversión de la unidad, y el concepto moderno de dimensión comenzó en 1863 con Maxwell. Sintetizó formulaciones anteriores de Fourier, Weber y Gauss.
Para escribir la fórmula de una cantidad física, encontramos sus dimensiones utilizando el análisis dimensional. Ahora en la fórmula dimensional reemplazando (m ), (l ) y (t ) por las unidades fundamentales del sistema requerido, obtenemos la unidad de la cantidad física. Sin embargo, a veces a esta unidad, asignamos un nombre específico, por ejemplo, ({ text {Work = Force}} Times { text {desplazamiento}} ).
Entonces ([w] = [ml {t^{ – 2}}] times [l] = [m {l^2} {t^{ – 2}}] )
Entonces sus unidades en C.G.S. El sistema será ({ text {gc}} {{ text {m}}^2}/{{ text {s}}^2} ) que se llama ( rm {erg} ) mientras En M.K.S. El sistema será ({ text {kg}} {{ text {m}}^2}/{{ text {s}}^2} ) que se llama ( rm {Joule} ).
¿Quién creó el análisis dimensional?
Asignar dimensiones a cantidades físicas no es solo para la practicidad. Steven T. Bramwell reflexiona sobre las connotaciones físicas más profundas de todo.
El término ‘dimensiones de una cantidad’ puede evocar una variedad de imágenes: quizás una herramienta para verificar las ecuaciones o cambiar la escala, una calidad misteriosa de la naturaleza o un medio mágico de descubrimiento. De todas las ideas de la teoría de la medición, las dimensiones son quizás las más valiosas, pero igualmente las más esquivas. ¿Qué hay detrás de su carácter complejo?
El concepto moderno de dimensión comenzó en 1863 con Maxwell, quien sintetizó formulaciones anteriores de Fourier, Weber y Gauss1. Al hacerlo, agregó un matiz que reconocemos hoy cada vez que nos referimos a las dimensiones de, digamos, g (≈ 9.81 m s – 2) como distancia a lo largo del tiempo cuadrado, en lugar de solo los exponentes dimensionales (1, −2). Al referirse a las dimensiones de una cantidad, Maxwell parecía implicar que las cosas reales tienen dimensiones naturales. En el mismo espíritu, designó unidades de masa, duración y tiempo como ‘unidades fundamentales’.
La consecuencia de la elección de Maxwell fue tanto la inspiración como la confusión. En manos de virtuosos como Lord Rayleigh y Osborne Reynolds, el análisis dimensional se convirtió rápidamente en una herramienta poderosa para el descubrimiento: la identificación del número de Reynolds, que describe la complejidad del flujo de fluido, es un ejemplo clásico. (La figura muestra un patrón de flujo dibujado a mano por Reynolds2.) En general, el método identifica relaciones que son consistentes con las leyes de la física, que involucran solo cantidades que son relevantes para un problema. Identificarlos, aunque solo sea por las conjeturas inspiradas, puede dar grandes ahorros de tiempo en los experimentos y proporcionar una guía teórica clara3,4.
Después de Maxwell, surgió un sentido de que se podían descubrir nuevas leyes fundamentales mediante análisis dimensional. El producto de permeabilidad al vacío y permitividad (inversa y arraigada) comparte dimensiones con velocidad y, de hecho, resultó ser la velocidad de la luz. El átomo de Bohr estaba motivado por el hecho de que la constante de Planck comparte dimensiones con el momento angular1. Pero en 1922 Bridgman insistió en que las dimensiones son una cuestión de convención: elecciones humanas, como las unidades3. No se pueden utilizar para descubrir nuevas leyes fundamentales, solo las relaciones que se derivan de las leyes existentes. En 1954, el término unidades fundamentales de Maxwell fue reemplazada por ‘Unidades base’, solo para establecer la ley.
¿Qué es análisis dimensional ejemplos?
Para usar un factor de conversión, es necesario que los valores representen la misma cantidad. Por ejemplo, 60 minutos es el mismo que 1 hora, 1000 metros es lo mismo que 1 kilómetro o 12 meses es lo mismo que 1 año.
Intentemos entenderlo de esta manera. Imagine que tiene 15 bolígrafos y multiplica eso por 1, ahora todavía tiene el mismo número de 15 bolígrafos. Si desea averiguar cuántos paquetes de la pluma son iguales a 15 bolígrafos, necesita el factor de conversión.
Ahora, suponga que tiene un conjunto de plumas de tinta empaquetado en el que cada paquete contiene 15 bolígrafos. Consideremos que tiene 6 paquetes. Para calcular los bolígrafos totales, debe multiplicar el número de paquetes por el número de bolígrafos en cada paquete. Esto sale a ser:
Algunos otros ejemplos de factores de conversión que se utilizan en la vida cotidiana son:
Un ejemplo simple: el tiempo tomado por un oscilador armónico.
Un ejemplo complejo: la energía de la conducción vibratoria o el cable.
Un tercer ejemplo: demanda versus capacidad para un disco que está girando.
El análisis dimensional es un aspecto importante de la medición, y tiene muchas aplicaciones en física. El análisis dimensional se utiliza principalmente por cinco razones, que son:
Para verificar la corrección de una ecuación o cualquier otra relación física basada en el principio de homogeneidad. Debe haber dimensiones en dos lados de la ecuación. La relación dimensional será correcta si el L.H.S y R.H.S de una ecuación tienen dimensiones idénticas. Si las dimensiones en dos lados son incorrectas, entonces las relaciones también serán incorrectas.
¿Qué es análisis dimensional y ejemplos?
El análisis dimensional es el campo de física (restringido) que se refiere a las unidades de cantidades. En particular, el hecho de que las unidades sean arbitrarias significa que cualquier ecuación válida de física es homogénea: algo que se mide en metros por segundo (
El segundo es la femenina del segundo adjetivo, que viene inmediatamente después del primero o quién…) no puede ser igual a algo que se mide en kilogramos (el kilogramo (símbolo de kg) es la unidad de masa del sistema internacional de unidades (Si ).) Por medidor (el medidor (m símbolo, del metón griego, medida) es la unidad básica de longitud de…). Es una forma muy popular y muy efectiva de verificar los cálculos. Por otro lado, esto puede permitir en ciertos contextos establecer relaciones entre diferentes datos (en tecnologías de la información (TI), los datos son una descripción elemental, a menudo…).
La ecuación de dimensiones es la fórmula que permite determinar la unidad en la que se debe expresar el resultado de una fórmula. Es una ecuación de cantidades, es decir, en la que representamos los fenómenos medidos por un símbolo; Por ejemplo, una longitud (la longitud de un objeto es la distancia entre sus dos extremidades…) está representada por la letra «L».
Una grandeza es un parámetro (un parámetro es en sentido amplio un elemento de información a tener en cuenta…) que se utiliza para definir un estado, un objeto (en general, el objeto de la palabra (desde el objeto latino, 1361 ) designa una entidad definida en…). Por ejemplo, la longitud, la temperatura (la temperatura es una cantidad física medida con un termómetro y…), la energía (en el sentido común, la energía designa todo lo que hace posible realizar un trabajo, hacer… ), Velocidad (distinguimos :), la presión (la presión es una noción física fundamental. Podemos verla como una fuerza informada…), una fuerza (la palabra fuerza puede designar un poder mecánico sobre las cosas, y también, metafóricamente, metafóricamente, a…) (por ejemplo de peso), inercia (la inercia de un cuerpo proviene de la necesidad de ejercer una fuerza sobre él para modificar su…) (masa), la cantidad de materia (la cantidad de materia es una Cantidad de conteo de entidades químicas o físicas…) (número de lunares)… son cantidades.
¿Cómo se realiza análisis dimensional?
En la ciencia, las unidades son extremadamente importantes. El número 12 no significa absolutamente nada a menos que sepamos las unidades, ya sea tiempo, longitud o presión. En consecuencia, poder manipular estas unidades es una habilidad clave, especialmente para la química cuando ciertas ecuaciones requieren unidades muy específicas. Por ejemplo, la ley de gas ideal, PV = NRT, requiere que la presión esté en el cajero automático, el volumen para estar en litros y temperatura para estar en Kelvin para que todo se cancele correctamente.
El proceso de manipular nuestras unidades se llama análisis dimensional. Esto utiliza el principio de que podemos multiplicar un número por fracciones que son equivalentes a 1 para cambiar las unidades sin cambiar el valor real del número. Una manera fácil de pensar en esto es imaginar una regla que tiene pulgadas en un lado y centímetros en el otro. Si medimos un trozo de cadena con cualquier lado, obtenemos dos números diferentes con diferentes unidades, pero representan la misma longitud del mundo real. Ese es el objetivo del análisis dimensional: obtener el mismo valor del mundo real representado con diferentes unidades.
Para hacer esto, necesitamos memorizar o hacer referencia a una tabla de factores de conversión. Estos están disponibles en cualquier libro de texto de química, pero algunos de los factores de conversión más comunes se enumeran a continuación.
Realizar análisis dimensionales es un proceso bastante fácil. Todo lo que tiene que hacer es configurar una serie de fracciones donde las unidades terminan cancelando. Recuerde, cuando tenga fracciones y desea que se cancele algo, debe asegurarse de que esté presente tanto en el numerador como en el denominador. Aquí hay un ejemplo básico de conversión de pies a pulgadas que usa el factor de conversión de 1 pie = 12 pulgadas.
También podemos hacer problemas más desafiantes que requieren más de un factor de conversión. Al igual que los problemas simples, lo más importante para recordar es que todas sus unidades deben cancelarse, dejándole solo las unidades que necesita para la respuesta final. Probemos un problema de varios pasos, convirtiendo millas por hora a metros por segundo. Este problema es particularmente complicado porque ya tenemos algo en el denominador de nuestras unidades iniciales. Entonces, para cancelarlos, debemos asegurarnos de poner la unidad correspondiente en el numerador de nuestros factores de conversión.
¿Qué es y para qué se utiliza el análisis dimensional?
El análisis dimensional (también llamado método de etiqueta de factor o análisis de la unidad) se usa para convertir de un conjunto de unidades a otro. Este método se utiliza para conversiones simples (pies a pulgadas) y complejas ( ( text {g/cm}^3 ) a ( text {kg} )/galón) y usa relaciones o factores de conversión entre diferentes conjuntos de unidades. Si bien los términos se usan con frecuencia indistintamente, los factores de conversión y las relaciones son diferentes. Los factores de conversión son cantidades que son iguales entre sí, como (100 : text {cm} = 1 : text {m} ), en la que ambos valores describen una longitud. Las relaciones son entre dos valores que no son necesariamente una medida de la misma cantidad. Por ejemplo, la densidad del agua es (1.00 : text {g/ml} ). Los gramos son una medida de masa, mientras que los mililitros miden el volumen, por lo que esto se considera una relación en lugar de un factor de conversión. De cualquier manera, dependemos de las unidades para ayudar a configurar y resolver el cálculo. Veremos ejemplos adicionales de relaciones a medida que exploramos otros detalles sobre la sustancia química.
Muchas cantidades se pueden expresar de varias maneras diferentes. La medición del sistema en inglés de 4 tazas también es igual a 2 pintas, 1 cuarto y ( ce {1/4} ) de un galón. (4 : text {tazas} = 2 : text {pints} = 1 : text {Quart} = 0.25 : text {Gallon} ). Observe que el componente numérico de cada cantidad es diferente, mientras que la cantidad real de material que representa es la misma. Eso es porque las unidades son diferentes. Podemos establecer el mismo conjunto de igualdades para el sistema métrico: (1 : text {meter} = 10 : text {decimeters} = 100 : text {centímetros} = 1000 : text {Millimeters} ). El uso del sistema métrico de poderes de 10 para todas las conversiones lo hace bastante simple. Podemos escribir factores de conversión entre cualquier par de cantidades equivalentes. En cada factor de conversión, el numerador y el denominador representan cantidades iguales, por lo que todos son factores de conversión válidos. Además, estos factores de conversión pueden invertirse o usarse en combinación con otros factores de conversión en un problema de análisis dimensional.
Este problema requiere la conversión de una unidad a otra para que podamos usar el análisis dimensional para resolver el problema. Necesitamos identificar las unidades que se dan ( izquierda ( text {m} right) ), las unidades para la respuesta ( izquierda ( text {cm} right) ) y cualquier relación que Relacione las unidades de los valores conocidos y desconocidos. En este caso, usaremos la relación de (1 : text {m} = 100 : text {cm} ). Comience con el valor conocido y su unidad.
Luego, observamos las unidades de nuestra relación para ver qué valor va en el numerador y qué valor va en el denominador. Recuerde, estamos tratando de encontrar el valor en centímetros. Dado que nuestro valor conocido está en unidades de metros, necesitamos medidores para estar en el denominador para que se cancele. Como resultado, los centímetros estarán en el numerador.
Tenga en cuenta que los números permanecen con la unidad apropiada (100 con centímetros y 1 con metros). Ahora, los medidores se cancelarán y nos quedan unidades de centímetros. Siempre verifique que su problema esté configurado por completo y que sus unidades se cancelen correctamente antes de hacer el cálculo real.
¿Qué es el análisis dimensional en mecánica de fluidos?
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
Si el modelo y el prototipo son geométricamente similares (es decir, el
El modelo es una réplica de escala perfecta del prototipo), y si cada uno
El parámetro adimensional independiente para el modelo es igual a
El parámetro adimensional independiente correspondiente del prototipo,
entonces el parámetro adimensional dependiente para el prototipo
será igual al correspondiente dependiente adimensional
Parámetro para el modelo.
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
dos parámetros adimensionados independientes (los que están en la mano derecha
lado) son el número de reynolds y el ángulo de ataque. El parámetro dependiente
es el coeficiente de elevación. El ala modelo en el túnel de viento debe
obviamente se establece en el mismo ángulo de ataque que el ángulo deseado
de ataque del prototipo. Para lograr una similitud dinámica,
El número de Reynolds del modelo también debe igualar el del prototipo.
Entonces, la similitud dinámica nos asegura que el coeficiente de elevación
del prototipo igualará el del modelo. Matemáticamente,
Podemos resolver la velocidad del túnel del viento, VM, requerido
Para que coincida con el número de Reynolds, y podemos ampliar la medición del elevador
Desde las pruebas del túnel de viento hasta el prototipo de escala completa de la siguiente manera:
Número de Reynolds. Luego, después de medir el ascensor en el ala modelo,
LM, podemos escalar adecuadamente (usando la última ecuación
arriba) para predecir el elevador, LP, en el prototipo.
receta para determinar los parámetros adimensionales formados por
una lista de variables. Hay seis pasos, que se describen a continuación,
seguido de un par de problemas de ejemplo. Otros ejemplos pueden ser
encontrado en el libro de texto y problemas de tarea.
– El número total de variables se asigna a la variable n. Nota:
La variable dependiente y todas las variables independientes
debe incluirse en n, incluso si son adimensionales (ángulos,
por ejemplo, ya son adimensionales, pero aún se cuentan
en este primer paso).
n variables se enumeran. Como se discutió en el texto, ya sea la fuerza de la fuerza-tiempo
establecer o el conjunto de temperatura de la longitud masiva de las dimensiones primarias
puede ser usado. En este curso, solo se utilizará este último. Mesa
5.1 En el texto proporciona las dimensiones de la mayoría de las variables
necesario en mecánica de fluidos, y es útil en este paso.
se encuentra, donde J suele ser el número de dimensiones primarias
representado en el problema. Hay más formales matemáticos
formas de encontrar J, pero en la mayoría de los problemas es suficiente simplemente
Cuente el número de dimensiones primarias disponibles de todos
Las variables originales. Por ejemplo, si masa, longitud y tiempo
Cada uno aparece en al menos una variable, J se establece en 3. Como el Buckingham
La técnica PI progresa, a veces queda claro que las cosas
Simplemente no están funcionando. En tales casos, J debe reducirse por
1 y los pasos 4 a 6 deben repetirse. Una vez que se encuentra J, el
número de parámetros adimensionales (o grupos «pi»)
esperado es k = n – j, donde k es el número de grupos PI. Este
La ecuación que relaciona K con N y J es parte del Buckingham
Teorema de Pi.
se eligen, que se utilizarán para generar los grupos PI. Está
algo arbitrario qué variables elegir aquí, especialmente cuando
n es grande. Lo principal que debe tenerse en cuenta es que
Estas variables repetidas pueden aparecer en cada uno de los grupos PI.
Por lo tanto, es importante qué variables se eligen. Algunas reglas
son útiles:
variable. De lo contrario, aparecerá en más de un pi, que
conducirá a una expresión implícita en el paso 6 a continuación.
todos por sí mismos. De lo contrario, el procedimiento en el paso 5 será
infructuoso.
Por ejemplo, si la masa, la longitud y el tiempo aparecen en el original
n variables, estas tres dimensiones principales también deben aparecer cada una
al menos una vez en las variables repetidas.
no debe ser recogido. Tales variables ya son adimensionales
Grupos PI, y no puede contribuir a formular el restante
Grupos PI.
Diferir solo por un exponente nunca debe ser elegido. Por ejemplo,
Si alguna área y alguna longitud se encuentran entre la lista de variables,
La longitud debe elegirse como una variable de repetición. Sería
sea incorrecto para seleccionar también el área como una variable de repetición,
Dado que sus dimensiones son simplemente el cuadrado de la longitud, y
no puede contribuir nada adicional a la formulación del PI
grupos.
son «comunes» deben elegir como variables repetidas.
Este es quizás el aspecto más difícil del análisis dimensional,
Especialmente para el estudiante principiante. Después de mucha práctica,
se vuelve más o menos obvio qué variables elegir. Por ejemplo,
Si hay una longitud, esa longitud debe recogerse como repetición
Variable ya que es muy básico y deseable en los grupos PI.
Del mismo modo, cierta velocidad, masa, tiempo o densidad también son buenas
opciones. En la mayoría de los problemas de flujo de fluido, otras propiedades de flujo como
La viscosidad o la tensión superficial no se debe elegir si hay
también más variables «básicas» para elegir, como
una longitud, velocidad, tiempo, masa o densidad. ¿Por qué? Porque es
Por lo general, no es deseable que aparezcan viscosidad o tensión superficial
en cada uno de los grupos PI.
cada una de las variables restantes (las que no fueron elegidas como
Variables de repetición) a su vez por las variables de repetición, cada una
a su vez elevado a algún exponente desconocido. Se encuentran los exponentes
Algebraicamente, obligando al Pi a ser adimensional. los
La convención es formar el primer PI utilizando la variable dependiente.
Tenga en cuenta que los grupos PI se pueden «ajustar» después de que estén
formado para estar de acuerdo con los grupos adimensionales comúnmente
utilizado en la literatura. Por ejemplo, se puede elevar un pi a cualquier
exponente, incluido -1 que produce el inverso del PI. También,
El grupo PI puede multiplicarse por cualquier constante adimensional sin
alterando sus dimensiones. (A menudo, se incluyen factores de 2 o 1/2
en los grupos PI estándar.) Tabla 5.2 En las listas de texto muchos de
Los grupos interimensivos comunes utilizados en la mecánica de fluidos. El PI
Los grupos generados en este paso deben ajustarse, si es necesario,
y nombrado de acuerdo con esta tabla.
forma, típicamente como el primer pi como una función del restante
Grupos PI. Si solo se encuentra un pi, debe ser una constante, ya que
Es una función de nada más.
Considere el caso del flujo incompresible sobre un ala de avión,
Como se discutió en la conferencia anterior. Se sabe que el elevador de ala depende
en la velocidad de flujo, ángulo de ataque, longitud de acorde del ala y
densidad y viscosidad del fluido. Examinemos este problema
con la técnica de análisis dimensional de Buckingham Pi, siguiendo
Los pasos descritos anteriormente:
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
dos parámetros adimensionados independientes (los que están en la mano derecha
lado) son el número de reynolds y el ángulo de ataque. El parámetro dependiente
es el coeficiente de elevación. El ala modelo en el túnel de viento debe
obviamente se establece en el mismo ángulo de ataque que el ángulo deseado
de ataque del prototipo. Para lograr una similitud dinámica,
El número de Reynolds del modelo también debe igualar el del prototipo.
Entonces, la similitud dinámica nos asegura que el coeficiente de elevación
del prototipo igualará el del modelo. Matemáticamente,
Podemos resolver la velocidad del túnel del viento, VM, requerido
Para que coincida con el número de Reynolds, y podemos ampliar la medición del elevador
Desde las pruebas del túnel de viento hasta el prototipo de escala completa de la siguiente manera:
Número de Reynolds. Luego, después de medir el ascensor en el ala modelo,
LM, podemos escalar adecuadamente (usando la última ecuación
arriba) para predecir el elevador, LP, en el prototipo.
receta para determinar los parámetros adimensionales formados por
una lista de variables. Hay seis pasos, que se describen a continuación,
seguido de un par de problemas de ejemplo. Otros ejemplos pueden ser
encontrado en el libro de texto y problemas de tarea.
– El número total de variables se asigna a la variable n. Nota:
La variable dependiente y todas las variables independientes
debe incluirse en n, incluso si son adimensionales (ángulos,
por ejemplo, ya son adimensionales, pero aún se cuentan
en este primer paso).
n variables se enumeran. Como se discutió en el texto, ya sea la fuerza de la fuerza-tiempo
establecer o el conjunto de temperatura de la longitud masiva de las dimensiones primarias
puede ser usado. En este curso, solo se utilizará este último. Mesa
5.1 En el texto proporciona las dimensiones de la mayoría de las variables
necesario en mecánica de fluidos, y es útil en este paso.
se encuentra, donde J suele ser el número de dimensiones primarias
representado en el problema. Hay más formales matemáticos
formas de encontrar J, pero en la mayoría de los problemas es suficiente simplemente
Cuente el número de dimensiones primarias disponibles de todos
Las variables originales. Por ejemplo, si masa, longitud y tiempo
Cada uno aparece en al menos una variable, J se establece en 3. Como el Buckingham
La técnica PI progresa, a veces queda claro que las cosas
Simplemente no están funcionando. En tales casos, J debe reducirse por
1 y los pasos 4 a 6 deben repetirse. Una vez que se encuentra J, el
número de parámetros adimensionales (o grupos «pi»)
esperado es k = n – j, donde k es el número de grupos PI. Este
La ecuación que relaciona K con N y J es parte del Buckingham
Teorema de Pi.
se eligen, que se utilizarán para generar los grupos PI. Está
algo arbitrario qué variables elegir aquí, especialmente cuando
n es grande. Lo principal que debe tenerse en cuenta es que
Estas variables repetidas pueden aparecer en cada uno de los grupos PI.
Por lo tanto, es importante qué variables se eligen. Algunas reglas
son útiles:
variable. De lo contrario, aparecerá en más de un pi, que
conducirá a una expresión implícita en el paso 6 a continuación.
todos por sí mismos. De lo contrario, el procedimiento en el paso 5 será
infructuoso.
Por ejemplo, si la masa, la longitud y el tiempo aparecen en el original
n variables, estas tres dimensiones principales también deben aparecer cada una
al menos una vez en las variables repetidas.
no debe ser recogido. Tales variables ya son adimensionales
Grupos PI, y no puede contribuir a formular el restante
Grupos PI.
Diferir solo por un exponente nunca debe ser elegido. Por ejemplo,
Si alguna área y alguna longitud se encuentran entre la lista de variables,
La longitud debe elegirse como una variable de repetición. Sería
sea incorrecto para seleccionar también el área como una variable de repetición,
Dado que sus dimensiones son simplemente el cuadrado de la longitud, y
no puede contribuir nada adicional a la formulación del PI
grupos.
son «comunes» deben elegir como variables repetidas.
Este es quizás el aspecto más difícil del análisis dimensional,
Especialmente para el estudiante principiante. Después de mucha práctica,
se vuelve más o menos obvio qué variables elegir. Por ejemplo,
Si hay una longitud, esa longitud debe recogerse como repetición
Variable ya que es muy básico y deseable en los grupos PI.
Del mismo modo, cierta velocidad, masa, tiempo o densidad también son buenas
opciones. En la mayoría de los problemas de flujo de fluido, otras propiedades de flujo como
La viscosidad o la tensión superficial no se debe elegir si hay
también más variables «básicas» para elegir, como
una longitud, velocidad, tiempo, masa o densidad. ¿Por qué? Porque es
Por lo general, no es deseable que aparezcan viscosidad o tensión superficial
en cada uno de los grupos PI.
cada una de las variables restantes (las que no fueron elegidas como
Variables de repetición) a su vez por las variables de repetición, cada una
a su vez elevado a algún exponente desconocido. Se encuentran los exponentes
Algebraicamente, obligando al Pi a ser adimensional. los
La convención es formar el primer PI utilizando la variable dependiente.
Tenga en cuenta que los grupos PI se pueden «ajustar» después de que estén
formado para estar de acuerdo con los grupos adimensionales comúnmente
utilizado en la literatura. Por ejemplo, se puede elevar un pi a cualquier
exponente, incluido -1 que produce el inverso del PI. También,
El grupo PI puede multiplicarse por cualquier constante adimensional sin
alterando sus dimensiones. (A menudo, se incluyen factores de 2 o 1/2
en los grupos PI estándar.) Tabla 5.2 En las listas de texto muchos de
Los grupos interimensivos comunes utilizados en la mecánica de fluidos. El PI
Los grupos generados en este paso deben ajustarse, si es necesario,
y nombrado de acuerdo con esta tabla.
forma, típicamente como el primer pi como una función del restante
Grupos PI. Si solo se encuentra un pi, debe ser una constante, ya que
Es una función de nada más.
aquí. n = 6.
dimensiones en el problema. De la tabla anterior, masa, longitud,
y el tiempo son las únicas dimensiones primarias representadas por el conjunto
de variables originales. Por lo tanto, establecer j = 3. Esto produce k = n – j
= 6 – 3 = 3. es decir, esperamos tres PI del análisis dimensional.
3 variables repetidas. Lift Force no es una buena opción ya que
es la variable dependiente en nuestra configuración de problemas. Ángulo de ataque
no está permitido ya que ya no es adimensional. (Tenga en cuenta que ángulo
¡Se demostrará que el ataque es un PI adimensional por sí solo!)
De los cuatro restantes, la viscosidad es la menor «básica»
o variable «deseable» para repetirse en todo el PI
grupos. La mejor opción aquí es, por lo tanto, densidad, velocidad y acorde.
longitud.
Primero ya que es la variable dependiente:
Grupo adimensional más conocido en la mecánica de fluidos, los Reynolds
número. No sería matemáticamente incorrecto irse
está «al revés», pero lo es, diremos, no «socialmente
aceptable «para hacerlo.
Variables independientes, el problema se ha reducido a uno dependiente
Parámetro como función de solo dos parámetros independientes. los
El grupo PI dependiente en el lado izquierdo es un coeficiente de elevación
(que normalmente tiene un factor de 2 arrojado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha es el Reynolds
número, como se discutió anteriormente.
Si se construye un ala modelo a escala geométrica y ese ala es
Probado en algún ángulo de ataque y en algún número de Reynolds, el
Se garantiza que el coeficiente de elevación medido es igual al de la escala completa
Prototipo si se opera en el mismo número de Reynolds y el mismo
ángulo de ataque. Este es el caso, incluso si los fluidos muy diferentes
se usan (aire y agua, por ejemplo).
Considere una burbuja de jabón. Se sabe que la presión dentro del
La burbuja debe ser mayor que la exterior, y esa tensión superficial
actúa como una «piel» para respaldar esta diferencia de presión.
La diferencia de presión es una función de la tensión superficial
y radio de burbuja. Ninguna otras variables son importantes en este problema.
Examinemos este problema con la técnica de Buckingham Pi de
Análisis dimensional, siguiendo los pasos descritos anteriormente:
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
dos parámetros adimensionados independientes (los que están en la mano derecha
lado) son el número de reynolds y el ángulo de ataque. El parámetro dependiente
es el coeficiente de elevación. El ala modelo en el túnel de viento debe
obviamente se establece en el mismo ángulo de ataque que el ángulo deseado
de ataque del prototipo. Para lograr una similitud dinámica,
El número de Reynolds del modelo también debe igualar el del prototipo.
Entonces, la similitud dinámica nos asegura que el coeficiente de elevación
del prototipo igualará el del modelo. Matemáticamente,
Podemos resolver la velocidad del túnel del viento, VM, requerido
Para que coincida con el número de Reynolds, y podemos ampliar la medición del elevador
Desde las pruebas del túnel de viento hasta el prototipo de escala completa de la siguiente manera:
Número de Reynolds. Luego, después de medir el ascensor en el ala modelo,
LM, podemos escalar adecuadamente (usando la última ecuación
arriba) para predecir el elevador, LP, en el prototipo.
receta para determinar los parámetros adimensionales formados por
una lista de variables. Hay seis pasos, que se describen a continuación,
seguido de un par de problemas de ejemplo. Otros ejemplos pueden ser
encontrado en el libro de texto y problemas de tarea.
– El número total de variables se asigna a la variable n. Nota:
La variable dependiente y todas las variables independientes
debe incluirse en n, incluso si son adimensionales (ángulos,
por ejemplo, ya son adimensionales, pero aún se cuentan
en este primer paso).
n variables se enumeran. Como se discutió en el texto, ya sea la fuerza de la fuerza-tiempo
establecer o el conjunto de temperatura de la longitud masiva de las dimensiones primarias
puede ser usado. En este curso, solo se utilizará este último. Mesa
5.1 En el texto proporciona las dimensiones de la mayoría de las variables
necesario en mecánica de fluidos, y es útil en este paso.
se encuentra, donde J suele ser el número de dimensiones primarias
representado en el problema. Hay más formales matemáticos
formas de encontrar J, pero en la mayoría de los problemas es suficiente simplemente
Cuente el número de dimensiones primarias disponibles de todos
Las variables originales. Por ejemplo, si masa, longitud y tiempo
Cada uno aparece en al menos una variable, J se establece en 3. Como el Buckingham
La técnica PI progresa, a veces queda claro que las cosas
Simplemente no están funcionando. En tales casos, J debe reducirse por
1 y los pasos 4 a 6 deben repetirse. Una vez que se encuentra J, el
número de parámetros adimensionales (o grupos «pi»)
esperado es k = n – j, donde k es el número de grupos PI. Este
La ecuación que relaciona K con N y J es parte del Buckingham
Teorema de Pi.
se eligen, que se utilizarán para generar los grupos PI. Está
algo arbitrario qué variables elegir aquí, especialmente cuando
n es grande. Lo principal que debe tenerse en cuenta es que
Estas variables repetidas pueden aparecer en cada uno de los grupos PI.
Por lo tanto, es importante qué variables se eligen. Algunas reglas
son útiles:
variable. De lo contrario, aparecerá en más de un pi, que
conducirá a una expresión implícita en el paso 6 a continuación.
todos por sí mismos. De lo contrario, el procedimiento en el paso 5 será
infructuoso.
Por ejemplo, si la masa, la longitud y el tiempo aparecen en el original
n variables, estas tres dimensiones principales también deben aparecer cada una
al menos una vez en las variables repetidas.
no debe ser recogido. Tales variables ya son adimensionales
Grupos PI, y no puede contribuir a formular el restante
Grupos PI.
Diferir solo por un exponente nunca debe ser elegido. Por ejemplo,
Si alguna área y alguna longitud se encuentran entre la lista de variables,
La longitud debe elegirse como una variable de repetición. Sería
sea incorrecto para seleccionar también el área como una variable de repetición,
Dado que sus dimensiones son simplemente el cuadrado de la longitud, y
no puede contribuir nada adicional a la formulación del PI
grupos.
son «comunes» deben elegir como variables repetidas.
Este es quizás el aspecto más difícil del análisis dimensional,
Especialmente para el estudiante principiante. Después de mucha práctica,
se vuelve más o menos obvio qué variables elegir. Por ejemplo,
Si hay una longitud, esa longitud debe recogerse como repetición
Variable ya que es muy básico y deseable en los grupos PI.
Del mismo modo, cierta velocidad, masa, tiempo o densidad también son buenas
opciones. En la mayoría de los problemas de flujo de fluido, otras propiedades de flujo como
La viscosidad o la tensión superficial no se debe elegir si hay
también más variables «básicas» para elegir, como
una longitud, velocidad, tiempo, masa o densidad. ¿Por qué? Porque es
Por lo general, no es deseable que aparezcan viscosidad o tensión superficial
en cada uno de los grupos PI.
cada una de las variables restantes (las que no fueron elegidas como
Variables de repetición) a su vez por las variables de repetición, cada una
a su vez elevado a algún exponente desconocido. Se encuentran los exponentes
Algebraicamente, obligando al Pi a ser adimensional. los
La convención es formar el primer PI utilizando la variable dependiente.
Tenga en cuenta que los grupos PI se pueden «ajustar» después de que estén
formado para estar de acuerdo con los grupos adimensionales comúnmente
utilizado en la literatura. Por ejemplo, se puede elevar un pi a cualquier
exponente, incluido -1 que produce el inverso del PI. También,
El grupo PI puede multiplicarse por cualquier constante adimensional sin
alterando sus dimensiones. (A menudo, se incluyen factores de 2 o 1/2
en los grupos PI estándar.) Tabla 5.2 En las listas de texto muchos de
Los grupos interimensivos comunes utilizados en la mecánica de fluidos. El PI
Los grupos generados en este paso deben ajustarse, si es necesario,
y nombrado de acuerdo con esta tabla.
forma, típicamente como el primer pi como una función del restante
Grupos PI. Si solo se encuentra un pi, debe ser una constante, ya que
Es una función de nada más.
aquí. n = 6.
dimensiones en el problema. De la tabla anterior, masa, longitud,
y el tiempo son las únicas dimensiones primarias representadas por el conjunto
de variables originales. Por lo tanto, establecer j = 3. Esto produce k = n – j
= 6 – 3 = 3. es decir, esperamos tres PI del análisis dimensional.
3 variables repetidas. Lift Force no es una buena opción ya que
es la variable dependiente en nuestra configuración de problemas. Ángulo de ataque
no está permitido ya que ya no es adimensional. (Tenga en cuenta que ángulo
¡Se demostrará que el ataque es un PI adimensional por sí solo!)
De los cuatro restantes, la viscosidad es la menor «básica»
o variable «deseable» para repetirse en todo el PI
grupos. La mejor opción aquí es, por lo tanto, densidad, velocidad y acorde.
longitud.
Primero ya que es la variable dependiente:
Grupo adimensional más conocido en la mecánica de fluidos, los Reynolds
número. No sería matemáticamente incorrecto irse
está «al revés», pero lo es, diremos, no «socialmente
aceptable «para hacerlo.
Variables independientes, el problema se ha reducido a uno dependiente
Parámetro como función de solo dos parámetros independientes. los
El grupo PI dependiente en el lado izquierdo es un coeficiente de elevación
(que normalmente tiene un factor de 2 arrojado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha es el Reynolds
número, como se discutió anteriormente.
Si se construye un ala modelo a escala geométrica y ese ala es
Probado en algún ángulo de ataque y en algún número de Reynolds, el
Se garantiza que el coeficiente de elevación medido es igual al de la escala completa
Prototipo si se opera en el mismo número de Reynolds y el mismo
ángulo de ataque. Este es el caso, incluso si los fluidos muy diferentes
se usan (aire y agua, por ejemplo).
aquí. n = 3.
dimensiones en el problema. De la tabla anterior, masa, longitud,
y el tiempo son las únicas dimensiones primarias representadas por el conjunto
de variables originales. Por lo tanto, establecer j = 3. Esto produce k = n – j
= 3 – 3 = 0. es decir, esperamos cero pi’s del análisis dimensional.
Esto no tiene sentido. Cuando esto sucede, existe una de dos razones:
O no tenemos suficientes variables en el problema original
Declaración (no hay suficiente física representada por la lista de variables),
o j está equivocado. Aquí, este último es el caso, y debemos reducir
J por 1 antes de continuar. Establecer j = 2, que produce k = n – j =
3 – 2 = 1. es decir, esperamos un PI del análisis dimensional.
2 variables repetidas. La diferencia de presión no es una buena opción
ya que es la variable dependiente en nuestra configuración de problemas. Lo mejor
La elección aquí es, por lo tanto, la tensión superficial y el radio de burbujas.
se encuentra combinando la variable restante con las dos repetidas
Variables para formar un grupo PI, como sigue:
Equiparando exponentes del tiempo: 0 = -1 + b, o b = 1.
Equiparando exponentes de longitud: 0 = -2 -2a, o a = -1.
Afortunadamente aquí, la primera y la tercera ecuación producen lo mismo
valor del exponente a. Si no lo hicieran, sospecharíamos
Un error de álgebra o una configuración no física del problema. Nuestro
El resultado es:
Variables independientes, el problema se ha reducido a uno dependiente
Parámetro en función de la nada. En casos como este donde hay
es solo un grupo PI, que Pi debe ser una constante. (Si no es
Una función de cualquier otra cosa, ¡debe ser una constante!)
¿Qué es análisis dimensional en mecanica de fluidos?
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
Si el modelo y el prototipo son geométricamente similares (es decir, el
El modelo es una réplica de escala perfecta del prototipo), y si cada uno
El parámetro adimensional independiente para el modelo es igual a
El parámetro adimensional independiente correspondiente del prototipo,
entonces el parámetro adimensional dependiente para el prototipo
será igual al correspondiente dependiente adimensional
Parámetro para el modelo.
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
dos parámetros adimensionados independientes (los que están en la mano derecha
lado) son el número de reynolds y el ángulo de ataque. El parámetro dependiente
es el coeficiente de elevación. El ala modelo en el túnel de viento debe
obviamente se establece en el mismo ángulo de ataque que el ángulo deseado
de ataque del prototipo. Para lograr una similitud dinámica,
El número de Reynolds del modelo también debe igualar el del prototipo.
Entonces, la similitud dinámica nos asegura que el coeficiente de elevación
del prototipo igualará el del modelo. Matemáticamente,
Podemos resolver la velocidad del túnel del viento, VM, requerido
Para que coincida con el número de Reynolds, y podemos ampliar la medición del elevador
Desde las pruebas del túnel de viento hasta el prototipo de escala completa de la siguiente manera:
Número de Reynolds. Luego, después de medir el ascensor en el ala modelo,
LM, podemos escalar adecuadamente (usando la última ecuación
arriba) para predecir el elevador, LP, en el prototipo.
receta para determinar los parámetros adimensionales formados por
una lista de variables. Hay seis pasos, que se describen a continuación,
seguido de un par de problemas de ejemplo. Otros ejemplos pueden ser
encontrado en el libro de texto y problemas de tarea.
– El número total de variables se asigna a la variable n. Nota:
La variable dependiente y todas las variables independientes
debe incluirse en n, incluso si son adimensionales (ángulos,
por ejemplo, ya son adimensionales, pero aún se cuentan
en este primer paso).
n variables se enumeran. Como se discutió en el texto, ya sea la fuerza de la fuerza-tiempo
establecer o el conjunto de temperatura de la longitud masiva de las dimensiones primarias
puede ser usado. En este curso, solo se utilizará este último. Mesa
5.1 En el texto proporciona las dimensiones de la mayoría de las variables
necesario en mecánica de fluidos, y es útil en este paso.
se encuentra, donde J suele ser el número de dimensiones primarias
representado en el problema. Hay más formales matemáticos
formas de encontrar J, pero en la mayoría de los problemas es suficiente simplemente
Cuente el número de dimensiones primarias disponibles de todos
Las variables originales. Por ejemplo, si masa, longitud y tiempo
Cada uno aparece en al menos una variable, J se establece en 3. Como el Buckingham
La técnica PI progresa, a veces queda claro que las cosas
Simplemente no están funcionando. En tales casos, J debe reducirse por
1 y los pasos 4 a 6 deben repetirse. Una vez que se encuentra J, el
número de parámetros adimensionales (o grupos «pi»)
esperado es k = n – j, donde k es el número de grupos PI. Este
La ecuación que relaciona K con N y J es parte del Buckingham
Teorema de Pi.
se eligen, que se utilizarán para generar los grupos PI. Está
algo arbitrario qué variables elegir aquí, especialmente cuando
n es grande. Lo principal que debe tenerse en cuenta es que
Estas variables repetidas pueden aparecer en cada uno de los grupos PI.
Por lo tanto, es importante qué variables se eligen. Algunas reglas
son útiles:
variable. De lo contrario, aparecerá en más de un pi, que
conducirá a una expresión implícita en el paso 6 a continuación.
todos por sí mismos. De lo contrario, el procedimiento en el paso 5 será
infructuoso.
Por ejemplo, si la masa, la longitud y el tiempo aparecen en el original
n variables, estas tres dimensiones principales también deben aparecer cada una
al menos una vez en las variables repetidas.
no debe ser recogido. Tales variables ya son adimensionales
Grupos PI, y no puede contribuir a formular el restante
Grupos PI.
Diferir solo por un exponente nunca debe ser elegido. Por ejemplo,
Si alguna área y alguna longitud se encuentran entre la lista de variables,
La longitud debe elegirse como una variable de repetición. Sería
sea incorrecto para seleccionar también el área como una variable de repetición,
Dado que sus dimensiones son simplemente el cuadrado de la longitud, y
no puede contribuir nada adicional a la formulación del PI
grupos.
son «comunes» deben elegir como variables repetidas.
Este es quizás el aspecto más difícil del análisis dimensional,
Especialmente para el estudiante principiante. Después de mucha práctica,
se vuelve más o menos obvio qué variables elegir. Por ejemplo,
Si hay una longitud, esa longitud debe recogerse como repetición
Variable ya que es muy básico y deseable en los grupos PI.
Del mismo modo, cierta velocidad, masa, tiempo o densidad también son buenas
opciones. En la mayoría de los problemas de flujo de fluido, otras propiedades de flujo como
La viscosidad o la tensión superficial no se debe elegir si hay
también más variables «básicas» para elegir, como
una longitud, velocidad, tiempo, masa o densidad. ¿Por qué? Porque es
Por lo general, no es deseable que aparezcan viscosidad o tensión superficial
en cada uno de los grupos PI.
cada una de las variables restantes (las que no fueron elegidas como
Variables de repetición) a su vez por las variables de repetición, cada una
a su vez elevado a algún exponente desconocido. Se encuentran los exponentes
Algebraicamente, obligando al Pi a ser adimensional. los
La convención es formar el primer PI utilizando la variable dependiente.
Tenga en cuenta que los grupos PI se pueden «ajustar» después de que estén
formado para estar de acuerdo con los grupos adimensionales comúnmente
utilizado en la literatura. Por ejemplo, se puede elevar un pi a cualquier
exponente, incluido -1 que produce el inverso del PI. También,
El grupo PI puede multiplicarse por cualquier constante adimensional sin
alterando sus dimensiones. (A menudo, se incluyen factores de 2 o 1/2
en los grupos PI estándar.) Tabla 5.2 En las listas de texto muchos de
Los grupos interimensivos comunes utilizados en la mecánica de fluidos. El PI
Los grupos generados en este paso deben ajustarse, si es necesario,
y nombrado de acuerdo con esta tabla.
forma, típicamente como el primer pi como una función del restante
Grupos PI. Si solo se encuentra un pi, debe ser una constante, ya que
Es una función de nada más.
Considere el caso del flujo incompresible sobre un ala de avión,
Como se discutió en la conferencia anterior. Se sabe que el elevador de ala depende
en la velocidad de flujo, ángulo de ataque, longitud de acorde del ala y
densidad y viscosidad del fluido. Examinemos este problema
con la técnica de análisis dimensional de Buckingham Pi, siguiendo
Los pasos descritos anteriormente:
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
dos parámetros adimensionados independientes (los que están en la mano derecha
lado) son el número de reynolds y el ángulo de ataque. El parámetro dependiente
es el coeficiente de elevación. El ala modelo en el túnel de viento debe
obviamente se establece en el mismo ángulo de ataque que el ángulo deseado
de ataque del prototipo. Para lograr una similitud dinámica,
El número de Reynolds del modelo también debe igualar el del prototipo.
Entonces, la similitud dinámica nos asegura que el coeficiente de elevación
del prototipo igualará el del modelo. Matemáticamente,
Podemos resolver la velocidad del túnel del viento, VM, requerido
Para que coincida con el número de Reynolds, y podemos ampliar la medición del elevador
Desde las pruebas del túnel de viento hasta el prototipo de escala completa de la siguiente manera:
Número de Reynolds. Luego, después de medir el ascensor en el ala modelo,
LM, podemos escalar adecuadamente (usando la última ecuación
arriba) para predecir el elevador, LP, en el prototipo.
receta para determinar los parámetros adimensionales formados por
una lista de variables. Hay seis pasos, que se describen a continuación,
seguido de un par de problemas de ejemplo. Otros ejemplos pueden ser
encontrado en el libro de texto y problemas de tarea.
– El número total de variables se asigna a la variable n. Nota:
La variable dependiente y todas las variables independientes
debe incluirse en n, incluso si son adimensionales (ángulos,
por ejemplo, ya son adimensionales, pero aún se cuentan
en este primer paso).
n variables se enumeran. Como se discutió en el texto, ya sea la fuerza de la fuerza-tiempo
establecer o el conjunto de temperatura de la longitud masiva de las dimensiones primarias
puede ser usado. En este curso, solo se utilizará este último. Mesa
5.1 En el texto proporciona las dimensiones de la mayoría de las variables
necesario en mecánica de fluidos, y es útil en este paso.
se encuentra, donde J suele ser el número de dimensiones primarias
representado en el problema. Hay más formales matemáticos
formas de encontrar J, pero en la mayoría de los problemas es suficiente simplemente
Cuente el número de dimensiones primarias disponibles de todos
Las variables originales. Por ejemplo, si masa, longitud y tiempo
Cada uno aparece en al menos una variable, J se establece en 3. Como el Buckingham
La técnica PI progresa, a veces queda claro que las cosas
Simplemente no están funcionando. En tales casos, J debe reducirse por
1 y los pasos 4 a 6 deben repetirse. Una vez que se encuentra J, el
número de parámetros adimensionales (o grupos «pi»)
esperado es k = n – j, donde k es el número de grupos PI. Este
La ecuación que relaciona K con N y J es parte del Buckingham
Teorema de Pi.
se eligen, que se utilizarán para generar los grupos PI. Está
algo arbitrario qué variables elegir aquí, especialmente cuando
n es grande. Lo principal que debe tenerse en cuenta es que
Estas variables repetidas pueden aparecer en cada uno de los grupos PI.
Por lo tanto, es importante qué variables se eligen. Algunas reglas
son útiles:
variable. De lo contrario, aparecerá en más de un pi, que
conducirá a una expresión implícita en el paso 6 a continuación.
todos por sí mismos. De lo contrario, el procedimiento en el paso 5 será
infructuoso.
Por ejemplo, si la masa, la longitud y el tiempo aparecen en el original
n variables, estas tres dimensiones principales también deben aparecer cada una
al menos una vez en las variables repetidas.
no debe ser recogido. Tales variables ya son adimensionales
Grupos PI, y no puede contribuir a formular el restante
Grupos PI.
Diferir solo por un exponente nunca debe ser elegido. Por ejemplo,
Si alguna área y alguna longitud se encuentran entre la lista de variables,
La longitud debe elegirse como una variable de repetición. Sería
sea incorrecto para seleccionar también el área como una variable de repetición,
Dado que sus dimensiones son simplemente el cuadrado de la longitud, y
no puede contribuir nada adicional a la formulación del PI
grupos.
son «comunes» deben elegir como variables repetidas.
Este es quizás el aspecto más difícil del análisis dimensional,
Especialmente para el estudiante principiante. Después de mucha práctica,
se vuelve más o menos obvio qué variables elegir. Por ejemplo,
Si hay una longitud, esa longitud debe recogerse como repetición
Variable ya que es muy básico y deseable en los grupos PI.
Del mismo modo, cierta velocidad, masa, tiempo o densidad también son buenas
opciones. En la mayoría de los problemas de flujo de fluido, otras propiedades de flujo como
La viscosidad o la tensión superficial no se debe elegir si hay
también más variables «básicas» para elegir, como
una longitud, velocidad, tiempo, masa o densidad. ¿Por qué? Porque es
Por lo general, no es deseable que aparezcan viscosidad o tensión superficial
en cada uno de los grupos PI.
cada una de las variables restantes (las que no fueron elegidas como
Variables de repetición) a su vez por las variables de repetición, cada una
a su vez elevado a algún exponente desconocido. Se encuentran los exponentes
Algebraicamente, obligando al Pi a ser adimensional. los
La convención es formar el primer PI utilizando la variable dependiente.
Tenga en cuenta que los grupos PI se pueden «ajustar» después de que estén
formado para estar de acuerdo con los grupos adimensionales comúnmente
utilizado en la literatura. Por ejemplo, se puede elevar un pi a cualquier
exponente, incluido -1 que produce el inverso del PI. También,
El grupo PI puede multiplicarse por cualquier constante adimensional sin
alterando sus dimensiones. (A menudo, se incluyen factores de 2 o 1/2
en los grupos PI estándar.) Tabla 5.2 En las listas de texto muchos de
Los grupos interimensivos comunes utilizados en la mecánica de fluidos. El PI
Los grupos generados en este paso deben ajustarse, si es necesario,
y nombrado de acuerdo con esta tabla.
forma, típicamente como el primer pi como una función del restante
Grupos PI. Si solo se encuentra un pi, debe ser una constante, ya que
Es una función de nada más.
aquí. n = 6.
dimensiones en el problema. De la tabla anterior, masa, longitud,
y el tiempo son las únicas dimensiones primarias representadas por el conjunto
de variables originales. Por lo tanto, establecer j = 3. Esto produce k = n – j
= 6 – 3 = 3. es decir, esperamos tres PI del análisis dimensional.
3 variables repetidas. Lift Force no es una buena opción ya que
es la variable dependiente en nuestra configuración de problemas. Ángulo de ataque
no está permitido ya que ya no es adimensional. (Tenga en cuenta que ángulo
¡Se demostrará que el ataque es un PI adimensional por sí solo!)
De los cuatro restantes, la viscosidad es la menor «básica»
o variable «deseable» para repetirse en todo el PI
grupos. La mejor opción aquí es, por lo tanto, densidad, velocidad y acorde.
longitud.
Primero ya que es la variable dependiente:
Grupo adimensional más conocido en la mecánica de fluidos, los Reynolds
número. No sería matemáticamente incorrecto irse
está «al revés», pero lo es, diremos, no «socialmente
aceptable «para hacerlo.
Variables independientes, el problema se ha reducido a uno dependiente
Parámetro como función de solo dos parámetros independientes. los
El grupo PI dependiente en el lado izquierdo es un coeficiente de elevación
(que normalmente tiene un factor de 2 arrojado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha es el Reynolds
número, como se discutió anteriormente.
Si se construye un ala modelo a escala geométrica y ese ala es
Probado en algún ángulo de ataque y en algún número de Reynolds, el
Se garantiza que el coeficiente de elevación medido es igual al de la escala completa
Prototipo si se opera en el mismo número de Reynolds y el mismo
ángulo de ataque. Este es el caso, incluso si los fluidos muy diferentes
se usan (aire y agua, por ejemplo).
Considere una burbuja de jabón. Se sabe que la presión dentro del
La burbuja debe ser mayor que la exterior, y esa tensión superficial
actúa como una «piel» para respaldar esta diferencia de presión.
La diferencia de presión es una función de la tensión superficial
y radio de burbuja. Ninguna otras variables son importantes en este problema.
Examinemos este problema con la técnica de Buckingham Pi de
Análisis dimensional, siguiendo los pasos descritos anteriormente:
- El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, no solo en
Mecánica de fluidos, pero en muchas disciplinas. Proporciona una forma de
planificar y llevar a cabo experimentos, y permite que uno amplíe los resultados
Del modelo a prototipo. Considere, por ejemplo, el diseño de
un ala de avión. - El ala de tamaño completo, o prototipo, tiene algo de acorde
Longitud, CP, opera a Speed VP y genera
Una fuerza de elevación, LP, que varía con el ángulo de ataque.
Además, las propiedades de importancia fluida para este flujo son
la densidad y la viscosidad. Después del diseño preliminar, es
generalmente necesario para realizar experimentos para verificar y tune
el diseño. Para ahorrar tiempo y dinero, estas pruebas suelen ser
realizado con un modelo de menor escala en un túnel de viento o agua
túnel. En el boceto anterior, un modelo geométricamente similar es
construido. En este caso, el modelo es más pequeño que el prototipo.
En algunos casos, lo contrario es cierto; es decir, puede ser prudente
construir un modelo grande de un pequeño prototipo para realizar
Análisis experimental más preciso. - El objetivo de las pruebas experimentales es encontrar una relación.
entre la variable dependiente (en este caso el ascensor del ala)
y las variables independientes en el problema (en este caso el
Velocidad, el ángulo de ataque del ala, la longitud de la acorde y la densidad
y viscosidad del fluido). Tenga en cuenta que aquí estamos descuidando
La velocidad del sonido, que solo es importante a velocidades muy altas.
La relación funcional se puede establecer de la siguiente manera: - Hay una manera incorrecta y una forma correcta de realizar los experimentos.
La forma incorrecta es tratar de analizar la dependencia de la elevación de cada
de las cinco variables independientes por separado. En otras palabras,
ejecute las pruebas a muchas velocidades (para ver el efecto de la velocidad
en la elevación), y muchos ángulos de ataque (para ver el efecto del ángulo
de ataque a la elevación), con muchos tamaños de modelo diferentes (para ver el
Efecto de la longitud de acorde en la elevación), y en muchos fluidos diferentes
(para ver el efecto de la viscosidad y la densidad en el elevador). Esto sería
tomar una enorme cantidad de tiempo y recursos, y sería
Muy difícil resumir los resultados sucintamente. - La forma correcta de hacer los experimentos es realizar primero
un análisis dimensional de la relación funcional anterior, que
conduce a una forma revisada de la relación en términos de
parámetros o grupos no dimensionales. En este problema en particular,
Análisis dimensional rendimiento - Lo cual es mucho más simple que la relación funcional original.
En particular, en lugar de una variable dependiente en función de
cinco variables independientes, el problema se ha reducido a uno
Parámetro dependiente en función de solo dos parámetros independientes.
Además, cada uno de estos tres parámetros es adimensional,
lo que los hace completamente independientes del sistema unitario utilizado
En las medidas. - El parámetro a la izquierda es un tipo de coeficiente de elevación (el
El coeficiente de elevación real tiene un factor de 2 lanzado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha se llama
Número de Reynolds. El ángulo de ataque ya es adimensional,
Por lo tanto, es un grupo adimensional por sí mismo. - Una trama es suficiente para describir completamente lo funcional anterior
relación. En particular, el coeficiente de elevación se traza versus
Ángulo de ataque, y varias curvas se trazan en constante Reynolds
número. Este solo gráfico es válido para el ala de cualquier tamaño, en cualquier
Fluido incompresible newtoniano, y a cualquier velocidad. Cuando experimentos
se realizan después de realizar el análisis dimensional, es
se dio cuenta de que solo se debe hacer un modelo de túnel de viento,
y solo se necesita usar un líquido (ese fluido puede ser
¡Aire o agua o cualquier otro fluido incompresible newtoniano)! los
El túnel de viento o la prueba de túnel de agua deben consistir en simplemente medir
Levante en función de la velocidad y el ángulo de ataque. Resultados de
El experimento se traza de manera no dimensional como se indica anteriormente. - Se puede establecer el principio de similitud dinámica
como sigue:
dos parámetros adimensionados independientes (los que están en la mano derecha
lado) son el número de reynolds y el ángulo de ataque. El parámetro dependiente
es el coeficiente de elevación. El ala modelo en el túnel de viento debe
obviamente se establece en el mismo ángulo de ataque que el ángulo deseado
de ataque del prototipo. Para lograr una similitud dinámica,
El número de Reynolds del modelo también debe igualar el del prototipo.
Entonces, la similitud dinámica nos asegura que el coeficiente de elevación
del prototipo igualará el del modelo. Matemáticamente,
Podemos resolver la velocidad del túnel del viento, VM, requerido
Para que coincida con el número de Reynolds, y podemos ampliar la medición del elevador
Desde las pruebas del túnel de viento hasta el prototipo de escala completa de la siguiente manera:
Número de Reynolds. Luego, después de medir el ascensor en el ala modelo,
LM, podemos escalar adecuadamente (usando la última ecuación
arriba) para predecir el elevador, LP, en el prototipo.
receta para determinar los parámetros adimensionales formados por
una lista de variables. Hay seis pasos, que se describen a continuación,
seguido de un par de problemas de ejemplo. Otros ejemplos pueden ser
encontrado en el libro de texto y problemas de tarea.
– El número total de variables se asigna a la variable n. Nota:
La variable dependiente y todas las variables independientes
debe incluirse en n, incluso si son adimensionales (ángulos,
por ejemplo, ya son adimensionales, pero aún se cuentan
en este primer paso).
n variables se enumeran. Como se discutió en el texto, ya sea la fuerza de la fuerza-tiempo
establecer o el conjunto de temperatura de la longitud masiva de las dimensiones primarias
puede ser usado. En este curso, solo se utilizará este último. Mesa
5.1 En el texto proporciona las dimensiones de la mayoría de las variables
necesario en mecánica de fluidos, y es útil en este paso.
se encuentra, donde J suele ser el número de dimensiones primarias
representado en el problema. Hay más formales matemáticos
formas de encontrar J, pero en la mayoría de los problemas es suficiente simplemente
Cuente el número de dimensiones primarias disponibles de todos
Las variables originales. Por ejemplo, si masa, longitud y tiempo
Cada uno aparece en al menos una variable, J se establece en 3. Como el Buckingham
La técnica PI progresa, a veces queda claro que las cosas
Simplemente no están funcionando. En tales casos, J debe reducirse por
1 y los pasos 4 a 6 deben repetirse. Una vez que se encuentra J, el
número de parámetros adimensionales (o grupos «pi»)
esperado es k = n – j, donde k es el número de grupos PI. Este
La ecuación que relaciona K con N y J es parte del Buckingham
Teorema de Pi.
se eligen, que se utilizarán para generar los grupos PI. Está
algo arbitrario qué variables elegir aquí, especialmente cuando
n es grande. Lo principal que debe tenerse en cuenta es que
Estas variables repetidas pueden aparecer en cada uno de los grupos PI.
Por lo tanto, es importante qué variables se eligen. Algunas reglas
son útiles:
variable. De lo contrario, aparecerá en más de un pi, que
conducirá a una expresión implícita en el paso 6 a continuación.
todos por sí mismos. De lo contrario, el procedimiento en el paso 5 será
infructuoso.
Por ejemplo, si la masa, la longitud y el tiempo aparecen en el original
n variables, estas tres dimensiones principales también deben aparecer cada una
al menos una vez en las variables repetidas.
no debe ser recogido. Tales variables ya son adimensionales
Grupos PI, y no puede contribuir a formular el restante
Grupos PI.
Diferir solo por un exponente nunca debe ser elegido. Por ejemplo,
Si alguna área y alguna longitud se encuentran entre la lista de variables,
La longitud debe elegirse como una variable de repetición. Sería
sea incorrecto para seleccionar también el área como una variable de repetición,
Dado que sus dimensiones son simplemente el cuadrado de la longitud, y
no puede contribuir nada adicional a la formulación del PI
grupos.
son «comunes» deben elegir como variables repetidas.
Este es quizás el aspecto más difícil del análisis dimensional,
Especialmente para el estudiante principiante. Después de mucha práctica,
se vuelve más o menos obvio qué variables elegir. Por ejemplo,
Si hay una longitud, esa longitud debe recogerse como repetición
Variable ya que es muy básico y deseable en los grupos PI.
Del mismo modo, cierta velocidad, masa, tiempo o densidad también son buenas
opciones. En la mayoría de los problemas de flujo de fluido, otras propiedades de flujo como
La viscosidad o la tensión superficial no se debe elegir si hay
también más variables «básicas» para elegir, como
una longitud, velocidad, tiempo, masa o densidad. ¿Por qué? Porque es
Por lo general, no es deseable que aparezcan viscosidad o tensión superficial
en cada uno de los grupos PI.
cada una de las variables restantes (las que no fueron elegidas como
Variables de repetición) a su vez por las variables de repetición, cada una
a su vez elevado a algún exponente desconocido. Se encuentran los exponentes
Algebraicamente, obligando al Pi a ser adimensional. los
La convención es formar el primer PI utilizando la variable dependiente.
Tenga en cuenta que los grupos PI se pueden «ajustar» después de que estén
formado para estar de acuerdo con los grupos adimensionales comúnmente
utilizado en la literatura. Por ejemplo, se puede elevar un pi a cualquier
exponente, incluido -1 que produce el inverso del PI. También,
El grupo PI puede multiplicarse por cualquier constante adimensional sin
alterando sus dimensiones. (A menudo, se incluyen factores de 2 o 1/2
en los grupos PI estándar.) Tabla 5.2 En las listas de texto muchos de
Los grupos interimensivos comunes utilizados en la mecánica de fluidos. El PI
Los grupos generados en este paso deben ajustarse, si es necesario,
y nombrado de acuerdo con esta tabla.
forma, típicamente como el primer pi como una función del restante
Grupos PI. Si solo se encuentra un pi, debe ser una constante, ya que
Es una función de nada más.
aquí. n = 6.
dimensiones en el problema. De la tabla anterior, masa, longitud,
y el tiempo son las únicas dimensiones primarias representadas por el conjunto
de variables originales. Por lo tanto, establecer j = 3. Esto produce k = n – j
= 6 – 3 = 3. es decir, esperamos tres PI del análisis dimensional.
3 variables repetidas. Lift Force no es una buena opción ya que
es la variable dependiente en nuestra configuración de problemas. Ángulo de ataque
no está permitido ya que ya no es adimensional. (Tenga en cuenta que ángulo
¡Se demostrará que el ataque es un PI adimensional por sí solo!)
De los cuatro restantes, la viscosidad es la menor «básica»
o variable «deseable» para repetirse en todo el PI
grupos. La mejor opción aquí es, por lo tanto, densidad, velocidad y acorde.
longitud.
Primero ya que es la variable dependiente:
Grupo adimensional más conocido en la mecánica de fluidos, los Reynolds
número. No sería matemáticamente incorrecto irse
está «al revés», pero lo es, diremos, no «socialmente
aceptable «para hacerlo.
Variables independientes, el problema se ha reducido a uno dependiente
Parámetro como función de solo dos parámetros independientes. los
El grupo PI dependiente en el lado izquierdo es un coeficiente de elevación
(que normalmente tiene un factor de 2 arrojado por conveniencia),
mientras que el primer parámetro independiente a la derecha es el Reynolds
número, como se discutió anteriormente.
Si se construye un ala modelo a escala geométrica y ese ala es
Probado en algún ángulo de ataque y en algún número de Reynolds, el
Se garantiza que el coeficiente de elevación medido es igual al de la escala completa
Prototipo si se opera en el mismo número de Reynolds y el mismo
ángulo de ataque. Este es el caso, incluso si los fluidos muy diferentes
se usan (aire y agua, por ejemplo).
aquí. n = 3.
dimensiones en el problema. De la tabla anterior, masa, longitud,
y el tiempo son las únicas dimensiones primarias representadas por el conjunto
de variables originales. Por lo tanto, establecer j = 3. Esto produce k = n – j
= 3 – 3 = 0. es decir, esperamos cero pi’s del análisis dimensional.
Esto no tiene sentido. Cuando esto sucede, existe una de dos razones:
O no tenemos suficientes variables en el problema original
Declaración (no hay suficiente física representada por la lista de variables),
o j está equivocado. Aquí, este último es el caso, y debemos reducir
J por 1 antes de continuar. Establecer j = 2, que produce k = n – j =
3 – 2 = 1. es decir, esperamos un PI del análisis dimensional.
2 variables repetidas. La diferencia de presión no es una buena opción
ya que es la variable dependiente en nuestra configuración de problemas. Lo mejor
La elección aquí es, por lo tanto, la tensión superficial y el radio de burbujas.
se encuentra combinando la variable restante con las dos repetidas
Variables para formar un grupo PI, como sigue:
Equiparando exponentes del tiempo: 0 = -1 + b, o b = 1.
Equiparando exponentes de longitud: 0 = -2 -2a, o a = -1.
Afortunadamente aquí, la primera y la tercera ecuación producen lo mismo
valor del exponente a. Si no lo hicieran, sospecharíamos
Un error de álgebra o una configuración no física del problema. Nuestro
El resultado es:
Variables independientes, el problema se ha reducido a uno dependiente
Parámetro en función de la nada. En casos como este donde hay
es solo un grupo PI, que Pi debe ser una constante. (Si no es
Una función de cualquier otra cosa, ¡debe ser una constante!)
¿Qué es el análisis dimensional y por qué es importante?
El uso de unidades en un cálculo para garantizar que obtengamos las unidades finales finales se denomina análisis dimensional. Por ejemplo, si observamos experimentalmente que la energía potencial de un objeto está relacionada con su masa, su altura desde el suelo y con una fuerza gravitacional, luego, cuando se multiplica, las unidades de masa, la altura y la fuerza de la gravedad deben darnos unidades correspondiente a los de energía.
La energía generalmente se mide en julios, calorías o voltios electrónicos (EV), definidos por las siguientes expresiones:
- 1 J = 1 (kg · m2)/s2 = 1 coulomb · volt
- 1 Cal = 4.184 J
- 1 eV = 1.602 × 10−19 J
El análisis dimensional de realización comienza con la búsqueda de los factores de conversión apropiados. Luego, simplemente multiplique los valores de tal manera que las unidades se cancelen teniendo unidades iguales en el numerador y el denominador. Para comprender este proceso, pasemos por algunos ejemplos.
Imagine que un químico quiere medir 0.214 ml de benceno, pero carece del equipo para medir con precisión un volumen tan pequeño. El químico, sin embargo, está equipado con un balance analítico capaz de medir a ( pm 0.0001 ; g ). Mirando en una tabla de referencia, el químico aprende la densidad del benceno ( ( rho = 0.8765 ; g/ml )). ¿Cuántos gramos de benceno debería usar el químico?
Observe que los ML están siendo divididos por ML, una unidad equivalente. Podemos cancelarlos nuestro, que resulta con el 0.187571 g. Sin embargo, esta no es nuestra respuesta final, ya que este resultado tiene demasiadas cifras significativas y debe redondearse a tres dígitos significativos. Esto se debe a que 0.214 ml tiene tres dígitos significativos y el factor de conversión tenía cuatro dígitos significativos. Como 5 es mayor o igual a 5, debemos redondear el 7 hasta 8 hasta 8.
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