En matemáticas, el factorial de una entera no negativa { displayStyle n}, denotada por n! { DisplayStyle n!}, Es el producto de todos los enteros positivos menos o igual a n { displayStyle n}. El factorial de n { displaystyle n} también es igual al producto de n { displaystyle n} con el siguiente factorial más pequeño:
- En las matemáticas indias, una de las primeras descripciones conocidas de los factorales proviene de la Anuyogadvāra-Sūtra, [2] una de las obras canónicas de la literatura jainista, que se ha asignado fechas que varían de 300 a. C. a 400 Ce. [3] Separa el orden ordenado y invertido de un conjunto de elementos de los otros órdenes («mixtas»), evaluando el número de pedidos mixtos restando dos de la fórmula de producto habitual para el factorial. La regla del producto para las permutaciones también fue descrita por el monje Jain Jinabhadra del siglo VII. [2] Los eruditos hindúes han estado usando fórmulas factoriales desde al menos 1150, cuando Bhāskara II mencionó factoriales en su trabajo Līlāvatī, en relación con un problema de cuántas formas en que Vishnu podría contener sus cuatro objetos característicos (una caracol de concha, disco, maza y flor de loto y loto ) en sus cuatro manos, y un problema similar para un dios de diez manos. [4]
- En Europa, aunque las matemáticas griegas incluían algunas combinatorias, y Platón usó 5040 (un factorial) como la población de una comunidad ideal, en parte debido a sus propiedades de divisibilidad, [8] no existe evidencia directa de un estudio griego antiguo de los factorales. En cambio, el primer trabajo en factorales en Europa fue por académicos judíos como Shabbethai Donnolo, explicando el pasaje de Sefer Yetzirah. [9] En 1677, el autor británico Fabian Stedman describió la aplicación de factores para cambiar el anillo, un arte musical que involucra el sonido de varias campanas sintonizadas. [10] [11]
La notación n! { DisplayStyle n!} Para factores de factores fue presentada por el matemático francés Christian Kramp en 1808. [17] También se han utilizado muchas otras anotaciones. Otra notación posterior, en la que el argumento del factorial fue medios engramados por los lados izquierdo e inferior de una caja, fue popular durante algún tiempo en Gran Bretaña y América, pero se cayó de su uso, tal vez porque es difícil de escribir. [17 ] La palabra «factorial» (originalmente francés: factorielle) fue utilizada por primera vez en 1800 por Louis François Antoine Arbogast, [18] en el primer trabajo sobre la fórmula de Faà di Bruno, [19] pero se refiere a un concepto más general de productos de progresiones aritméticas . Los «factores» a los que se refiere este nombre son los términos de la fórmula del producto para el factorial. [20]
¿Qué es el factorial?
En la definición como producto, la solicitud de que 0! { Splatyle 0!} Es igual a uno de acuerdo con la solicitud de que el producto de cero factores, el producto vacío, como el poder, nada de un todo positivo, es igual a 1 { displayStyle 1}. Para convencerse aún más de este hecho, también puede pensar en definir 1! = 1 { displayStyle 1! = 1} y observar eso
En primer lugar, las granjas son importantes en el cálculo combinatorio. En particular, hay n! { Dongestyle n!} Diferentes secuencias formadas por n { dongestyle n} objetos distintos, es decir, hay n! { Displayle n! Por lo tanto, las granjas se meten en los intercambios.
Dada la importancia de las permutaciones, se deduce que las granjas se encuentran en numerosas expresiones. Por ejemplo, permaneciendo en el cálculo combinatorio, el número de opciones de objetos k { splawyle k} entre los que constituyen un conjunto de elementos n { dongestyle n}, es decir, el número de subconjuntos de k { displaysstyle k} de los elementos de Un conjunto dado de objetos n { splawyle n}, viene dado por el coeficiente binomial llamado:
Por ejemplo 8 !! = 2⋅4⋅6⋅8 = 384 { DisplayStyle 8 !! = 2 CDOT 4 CDOT 6 CDOT 8 = 384} y 9 !! = 1⋅3⋅5⋅7⋅9 = 945 { DisplayStyle 9 !! = 1 CDOT 3 CDOT 5 CDOT 7 CDOT 9 = 945}. La secuencia semi -final para n = 0.1.2,… { desplazyle n = 0.1.2, dots} es la siguiente [1]:
¿Cuánto es uno factorial?
Los factoriales son cosas muy simples; Son solo productos y están indicados por un signo de exclamación. ¡Por ejemplo, «Four Factorial» está escrito como 4! y significa el producto de los números enteros entre 1 y 4.
En general, n! (pronunciado como «enn factorial») significa el producto de todos los números enteros de 1 a n; eso es, n! = 1 × 2 × 3 ×… × N.
(Porque… razones, 0! Se define como igual a 1, no a 0. sí, 1! También es igual a 1. Por razones. Solo asegúrate de memorizar esto ahora: 0! = 1! = 1.)
- Evalúe 6!.
Un factorial es solo un producto. En este caso, quieren que tome el factorial de 6. Esto significa que necesito multiplicar todos los números enteros de 1 a 6, inclusive. Mi trabajo es bastante simple:
Este valor es todo lo que están buscando, así que mi respuesta es:
Eso es todo lo que hay para factoriales, con respecto a la notación, la jerga y el concepto. Pero los factorales se vuelven realmente grandes, muy rápido, y seguramente verá expresiones factoriales con variables en ellas, o al menos números realmente grandes. Pero estas situaciones vienen con técnicas útiles que simplifican en gran medida su trabajo.
Muchas (¿la mayoría?) Calculadores pueden evaluar los factorales para usted (siempre y cuando tome factores de números más pequeños). Por ejemplo, el comando Factorial está disponible en el menú «Probabilidad» en una de mis calculadoras:
Para usar esto, primero ingreso al número cuyo factor se está tomando. Luego abro el menú de probabilidad, seleccione [! ] Entrada y luego presione [Enter]. La calculadora devuelve el valor del factorial.
¿Cuánto es factorial?
La calculadora factorial utiliza notación científica para expresar números muy grandes.
La notación científica es una forma de escribir números que son demasiado grandes o
Demasiado pequeño para ser escrito concisamente en un formato decimal.
Con notación científica, cualquier entero positivo puede expresarse como un número entre 1 y 10
multiplicado por un poder de 10. Aquí hay un ejemplo de un número escrito usando notación científica:
La calculadora factorial usa la notación E para expresar muy
números grandes. La notación es una forma de escribir números que son demasiado grandes o
Demasiado pequeño para ser escrito concisamente en un formato decimal.
Con E notación, la letra E representa «Times diez elevados al
poder de «. Aquí hay un ejemplo de un número escrito usando E notación:
Los resultados enteros son exactos para todos los cálculos de hasta 10,000 factoriales (¡10,000!). Resultados
Informado en notación científica y notación E también son exactos hasta 21 factoriales (¡21!).
Beyond 21 factorial, los resultados informados en la notación científica y la notación E son muy buenos
aproximaciones, precisas a 14 dígitos significativos.
La calculadora factorial puede calcular un factorial para cualquier número de hasta 10,000.
Más allá de 10,000, la calculadora informa una estimación de límite inferior. Aquí está la lógica. El valor
de 10,000! es aproximadamente 2.846 x 1035659. Por lo tanto, conocemos el factorial
de cualquier entero mayor de 10,000 será al menos 1035663. Entonces, para cualquier
entero de más de 10,000, la calculadora informa que el valor factorial será
Más de 1035663.
¿Cuál es el factorial del número 5?
La fórmula utilizada por esta calculadora de calculadora en línea es la siguiente:
N es el número deseado para el que desea realizar cálculos.
Considere esta calculadora de descomposición libre en los primeros factores que ayudan a crear los primeros factores de cualquier número, cree una lista de todos los números primos hasta cualquier número.
La fórmula muestra claramente que solo podría aplicarse a los números positivos que nos unen a no ir por debajo de 1. ya que proporciona el número de formas de intercambiar el objeto, por lo que no puede tener un objeto inferior a cero (0).
En primer lugar, tenga en cuenta que 0! Es lo mismo que uno (0! = 1). Parece un error, pero es el hecho de que es por eso que es un caso especial. Ahora profundizaremos en esta lógica:
El problema surge cuando calculamos el factorial de 0 es que:
Sabemos que el factorial de n se define solo cuando n> 0, por eso tenemos un problema. El término (0-1)! Proporciona resultados indefinidos en matemáticas y no tiene el mismo significado que cuando se divide por cero. El problema no es que no podamos calcularlo; El problema es que no tiene sentido. ¡Si ponemos el valor de 0! a 1, podemos obtener los valores esperados para n!. Nuestro cálculo factorial también determina el factorial de un número cero y otro todo positivo.
El cálculo de la granja se vuelve muy fácil con esta calculadora factorial gratuita que determina los resultados precisos de los números proporcionados.
¿Cuál es el factorial de 400?
El otro día estaba enseñando permutaciones a mis estudiantes de Álgebra 2, y pregunté casualmente cuántos arreglos diferentes hay para que todo nuestro cuerpo de la escuela se coloque para una foto. No sé el número exacto, pero generalmente uso 400 para estimaciones (sí, hago suficientes estimaciones para nuestra escuela que tengo un «típico»). ¡Sabía de inmediato que la respuesta era 400! (que es 400*399*398*…*3*2*1 para aquellos de ustedes que nunca antes han visto la notación).
¡Mi problema era que no tenía concepto de cuán grandes 400! Realmente lo era. ¿Cuántos dígitos de largo es ese número?
Mi pensamiento inicial era simplemente escribirlo en la calculadora, pero era demasiado grande para mi TI-84 para manejar. Eso significaba que tenía más de 100 dígitos, pero ¿tiene más de 400 dígitos? 1000 dígitos? ¿Cómo puedo responder a esto?
Finalmente, creo que los logaritmos serán la respuesta, pero por ahora veamos si podemos establecer algunos límites superiores e inferiores en las cosas. Dado que cada uno de los dígitos en la multiplicación de 400 a 1 tiene menos de 3 dígitos de largo, entonces todo el producto debe tener menos de 400*3 o 1200 dígitos de largo. Dado que la mayoría de los dígitos tienen 2 o más dígitos de largo, es seguro asumir que debe tener más de 400 dígitos de largo, pero ¿cuántos hay?
Ahora los logarithms son una herramienta que nuestros estudiantes de precalv abordarán la próxima semana, y podrían usarse para responder a esta pregunta, y todo depende de la propiedad del producto – suma de logaritmos:
400 es el 400/5 80º múltiplo de 5, ¡y así 400! es el primer factorial en tener 80 ceros al final. Un cheque no tan titular en la imagen de Wolfram Alpha revela que en realidad hay 33*3 o 99 ceros. ¿Extras!?
¿Qué es factorial en probabilidad?
Digamos que tenemos dos libros: la Odyssey y la Ilíada. Probablemente deberíamos tener más libros, pero si solo vamos a tener dos, estos son dos buenos para tener. Hay dos posibles formas de pedir estos libros en un estante. Podemos tener cualquiera de estos pedidos:
Ahora agregemos un tercer libro al estante. Consideramos agregar algo de John Grisham, pero luego decidimos que ahora no es el momento de anunciar ese placer culpable en particular para el mundo. En su lugar, vamos con Beowulf. Para cada uno de los dos órdenes anteriores, hay tres lugares donde podríamos agregar Beowulf. Podríamos agregarlo al comienzo del estante, en el medio o al final:
Beowulf, la Odisea, la Ilíada la Odisea, Beowulf, la Iliad the Odyssey, la Ilíada, Beowulf
Beowulf, la Ilíada, la Odisea la Ilíada, Beowulf, la Odisea la Ilíada, la Odisea, Beowulf
El número de formas de pedir tres libros es tres veces el número de formas de pedir dos libros: es decir, 3 × 2 = 6.
Ahora agregemos Hamlet al estante. Nuestro cerebro derecho está amando esto, pero está haciendo las cosas muy duras en nuestro cerebro izquierdo. ¿Cuántas formas hay ahora para pedir estos cuatro libros? Respuesta corta: Mucho. Si ya tenemos tres libros en el estante, hay cuatro lugares para agregar Hamlet: al principio, entre el primer y el segundo libro, entre el segundo y el tercer libro, o al final.
Hamlet, Beowulf, The Odyssey, The Iliad Beowulf, Hamlet, Odyssey, The Iliad Beowulf, Odyssey, Hamlet, Iliad Beowulf, The Odyssey, Iliad, Hamlet
¿Qué es regla factorial?
El factorial de un entero «n» (abreviado como «n!») Es el producto de todos los números enteros que son menores o iguales a «n». Por ejemplo, el factorial de 4 es 24 (el producto de los cuatro números del 1 al 4). ¡Factorial no está definido para números negativos y 0! = 1. La fórmula Stirling – N! = [SQRT (2 x pi x n)] x (n / e) ^ n – permite calcular la granja aproximadamente ya que el número n es grande (50 o más). En esta ecuación, «SQRT» es una abreviatura de la operación de la raíz cuadrada, «PI» es 3,1416 y «y» es 2,7183. Los siguientes pasos demuestran un algoritmo de los cálculos de la granja, utilizando el número 5, así como una aplicación de la fórmula Stirling.
El ASVAB, o la batería de aptitud vocacional de servicios armados, es necesario para cualquier hombre o mujer que esté considerando la opción militar. Aunque la prueba en sí tiene una puntuación, el puntaje final debe convertirse para que el Ejército pueda decidir qué áreas son las mejores para el individuo y cuán adaptable es el nuevo recluta.
El ácido clorhídrico, o HCl, es un ácido altamente corrosivo cuando se concentra. Siempre manejarlo con cuidado para evitar daños o lesiones. Se deben tomar precauciones de seguridad específicas durante la manipulación, transporte y conservación de HCL e inmediatamente obtener asistencia médica en caso de contacto accidental. Manipulación para usar un delantal resistente a los productos químicos, guantes resistentes a productos químicos y gafas antispruzzo químicas al manejar el HCL para proteger los ojos y la piel.
¿Cuál es la utilidad de la función factorial?
Estoy tratando de comprender la aplicación práctica de Factorial, en aplicaciones simples. Busqué en Math.StaceXchange y no pude encontrar una respuesta.
Entiendo que un factorial de n elementos le brinda la cantidad de formas en que puede organizar los elementos dados.
Por ejemplo: si hay dos monedas, puede organizarlas de dos maneras diferentes, como Wise si tiene 3 monedas, hay 6 formas en que puede organizarlas.
- ¿Cuáles son las otras aplicaciones que organizar el número de elementos?
- Estoy leyendo sobre la función gamma que se utilizará para encontrar
Factoriales de no enteros (decimales). ¿De qué sirve esto?
Nunca tendemos a organizar como 2.5 (dos elementos y medio). - Trajé el siguiente rango de números con su factorial usando
Gnuplot (software). Quiero saber cómo se interpola este software
El valor del factorial entre dos enteros. Porque no tengo
le dijo a Gnuplot que usara la función gamma
número factorial 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120
Tengo un conocimiento muy limitado en matemáticas, digamos el nivel escolar, preferiría una respuesta simple que se pueda relacionar fácilmente con
$$ sin x = frac {x^1} {1!}- frac {x^3} {3!}+ frac {x^5} {5!}- frac {x^7} { 7!}+ Frac {x^9} {9!}- frac {x^{11}} {11!}+ Cdots $$
$$ cos x = 1- frac {x^2} {2!}+ frac {x^4} {4!}- frac {x^6} {6!}+ frac {x^8 8 } {8!}- frac {x^{10}} {10!}+ Cdots $$
$$ e^x = 1+ frac {x^1} {1!}+ frac {x^2} {2!}+ frac {x^3} {3!}+ frac {x^4 4 } {4!}+ Frac {x^5} {5!}+ Cdots $$
Las funciones sine y coseno son importantes en la trigonometría, que tiene aplicaciones prácticas para la topografía y la astronomía. La función exponencial se utiliza para el cálculo del interés compuesto.
¿Qué es factorial y sus propiedades?
Las aplicaciones de las granjas y cálculos que obtienen de ellas están ocultas detrás de situaciones comunes de la vida diaria. Se encuentra un ejemplo en las comunicaciones a través de dispositivos móviles, ya que sus algoritmos de ajuste se basan en la granja. El cálculo de la probabilidad también se usa en el juego de lotería y en numerosos juegos de cartas. Las estadísticas, la economía y las finanzas representan más campos significativos donde se aplican los cálculos de la granja. Sin embargo, en los siguientes pasos de este tutorial, vemos cómo determinar el factorial de un número.
El factorial de un número se encuentra multiplicando todos los números naturales que lo preceden (excluyendo cero), incluido con él. Por ejemplo, el «4!» Resultará «4 x 3 x 2 x 1 = 24» y el «9!» Es lo mismo que «9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880». Como se puede ver, ya que el valor de «n» el factorial aumenta enormemente. Por convención, el factorial «0» se considera igual a «1». Después de haber hecho esta premisa, tiene la oportunidad de mudarse a las diferentes aplicaciones de la granja. Estos últimos son fundamentales para determinar de cuántas formas diferentes pueden asociarse los elementos de uno o más conjuntos, de acuerdo con las reglas precisas (cálculo combinatorio).
El factorial representa una herramienta auxiliar en el cálculo de la probabilidad, ya que le permite determinar el número de eventos posibles (incluso favorables o desfavorables) que pueden ocurrir en una situación. Un ejemplo se refiere a la simple permutación «pn = n». Si tenemos una palabra compuesta por 5 letras (como tren) y queremos saber cuántos anagramas posibles hay (incluidos los que no tienen sentido completo), tiene «P5 = 5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 «. Al insertar cuatro bolas (dos blancos y dos negros) en una bolsa y eliminarlas en pares, el número de combinaciones posibles viene dada por la fórmula «(N / K) X (N – K)». «N» significa el número de bolas y la «K» representa el número de elementos extraídos. Por lo tanto, las combinaciones posibles son «(4/2) x (4 – 2) = 2 x 2 = 4».
¿Qué es el factorial en probabilidad?
Una distribución factorial ocurre cuando un conjunto de variables son eventos independientes. En otras palabras, las variables no interactúan en absoluto; Dados dos eventos x e y, la probabilidad de X no cambia cuando se tiene en cuenta y. Por lo tanto, la probabilidad de x, dado que Y ha sucedido —P (x | y), será la misma que p (x).
La distribución factorial se puede escribir de muchas maneras (Hinton, 2013; Olshausen, 2004):
- p (x, y) = p (x) p (y)
- p (x, y, z) = p (x) p (y) P (z)
- p (x1, x2, x3, x4) = p (x1) p (x2) P (x3) P (x4)
En el caso de un vector de probabilidad, el significado es exactamente el mismo. Es decir, un vector de probabilidad de una distribución factorial es el producto de las probabilidades de los términos individuales del vector.
Puede notar la falta del símbolo factorial (!) En cualquiera de las definiciones. Esto se debe a que la distribución se nombra porque las frecuencias sucesivas son cantidades factoriales, en lugar de que los términos sean factorales mismos.
Para una distribución factorial, p (x, y) = p (x) p (y). Podemos generalizar esto para más de dos variables (Olshausen, 2004) y escribir:
Esta expresión también se puede escribir de manera más concisa como:
Nos gusta trabajar con distribuciones factoriales porque sus estadísticas son fáciles de calcular. En algunos campos, como la neurología, las situaciones mejor representadas por distribuciones de probabilidad complicadas e intratables se aproximan a las distribuciones factoriales para aprovechar esta facilidad de manipulación.
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