Los experimentos probabilísticos vienen en muchas formas, por lo que no existe un método o fórmula específico que pueda determinar el espacio de muestra en general. En cambio, debemos pensar lógica y sistemáticamente para identificar todos los resultados posibles de un experimento.
El espacio muestral es fundamentalmente un conjunto, que significa una colección de objetos, que puede representarse como una lista. El espacio de muestra a menudo está representado por la letra {eq} s {/eq} o {eq} omega {/eq}, y los elementos individuales se enumeran entre los soportes (soportes rizados).
Para experimentos simples con solo unos pocos resultados, no es difícil enumerar todos los elementos en el espacio de la muestra. Por ejemplo, el resultado de un flip de monedas son cabezas ({eq} h {/eq}) o colas ({eq} t {/eq}). El espacio muestral del experimento de voltear una sola moneda contiene solo estos dos resultados:
Del mismo modo, podemos enumerar fácilmente los resultados numéricos de rodar un solo dado de seis lados:
Para experimentos más complicados, encontrar una forma sistemática de organizar posibles resultados ayuda a garantizar que se hayan identificado todos los elementos del espacio de la muestra. Si se puede tratar un experimento como dos partes, cada una con su propio conjunto de resultados, el espacio de muestra se puede identificar con la ayuda de una tabla.
Por ejemplo: ¿Cuál es el espacio de muestra para el experimento de rodar dos dados y encontrar la suma de sus valores?
Podemos usar filas y columnas para realizar un seguimiento del resultado de cada dado, y registrar las posibles sumas en el cuerpo de la tabla, así:
La tabla muestra claramente todos los resultados posibles, y se puede ver que el espacio de muestra de las posibles sumas es
¿Cómo se calcula el espacio muestral de un experimento aleatorio?
Antes de rodar un dado, no sabes el resultado. Este es un ejemplo de un experimento aleatorio.
En particular, un experimento aleatorio es un proceso por el cual observamos algo incierto. Después
El experimento, se conoce el resultado del experimento aleatorio. Un resultado es el resultado de un
Experimento aleatorio. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral. Así en
El contexto de un experimento aleatorio, el espacio muestral es nuestro conjunto universal. Aquí están algunas
Ejemplos de experimentos aleatorios y sus espacios de muestra:
- Experimento aleatorio: tire una moneda; Espacio de muestra: $ s = {cabezales, colas } $ o como solemos escribirlo, $ {h, t } $.
Cuando repetimos un experimento aleatorio varias veces, llamamos a cada uno de ellos un ensayo. Así, una prueba
es un rendimiento particular de un experimento aleatorio. En el ejemplo de tirar una moneda, cada prueba
resultar en cabezas o colas. Tenga en cuenta que el espacio de muestra se define en función de cómo define su aleatorio
experimento. Por ejemplo,
Ejemplo
Lanzamos una moneda tres veces y observamos la secuencia de cabezas/colas. El espacio de muestra aquí puede definirse como
$$ S = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (H, T, T), (T, H , T), (t, t, h), (t, t, t) }. $$
Nuestro objetivo es asignar probabilidad a ciertos eventos. Por ejemplo, supongamos que nos gustaría
Conocer la probabilidad de que el resultado de rodar un dado justo sea un número uniforme. En este caso, nuestro evento
es el conjunto $ e = {2, 4, 6 } $. Si el resultado de nuestro experimento aleatorio pertenece al conjunto $ e $, decimos que
El evento $ E $ ha ocurrido. Por lo tanto, un evento es una colección de posibles resultados. En otras palabras, un evento
es un subconjunto del espacio de muestra al que asignamos una probabilidad. Aunque aún no hemos discutido cómo
Para encontrar la probabilidad de un evento, es posible que pueda adivinar que la probabilidad de $ {2, 4, 6 } $ es
$ 50 $ por ciento que es lo mismo que $ frac {1} {2} $ en la convención de teoría de probabilidad.
¿Cuál es la fórmula del espacio muestral?
El concepto de espacio muestral se basa en la noción de experimento aleatorio, por lo tanto, para comprender qué es un espacio de muestra, primero debemos aclarar qué se entiende por experimento aleatorio.
Un experimento aleatorio (o experimento aleatorio) es un fenómeno observable pero con un resultado no cierto, es decir, un fenómeno del cual no podemos predecir el resultado, sino del que conocemos todos los resultados posibles.
Un ejemplo concreto de experimento aleatorio es el lanzamiento de una moneda, en la que estamos interesados en qué cara se mostrará la moneda después de caer. Sabemos que los posibles resultados del experimento son la cabeza o la cruz, pero no podemos predecir con certeza cuál de las caras mostrará la moneda después de ser lanzada.
Con estas premisas definimos el espacio de muestra asociado con cualquier experimento aleatorio, como el conjunto de todos los resultados posibles del experimento en sí.
Cualquier espacio de muestra se indica con el símbolo de capital Omega y sus elementos se denominan puntos de muestra.
El espacio de muestra asociado con un experimento aleatorio no es único, de hecho, el mismo experimento aleatorio puede asociarse con múltiples espacios de muestra, dependiendo de los resultados que nos interesen.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una urna con tres bolas numeradas del 1 al 3, una de las cuales es un rojo, uno blanco y otro verde, y considerar el experimento aleatorio que consiste en la extracción de una bola de la urna.
¿Cómo se calcula un evento aleatorio?
– El todo es el único evento determinado, de hecho, que contiene todos los resultados posibles del experimento aleatorio se verificará por la fuerza de las cosas;
– El conjunto vacío es el único evento imposible, ya que no contiene ningún punto de muestra (ningún resultado posible) nunca puede ocurrir;
– Cualquier subconjunto de es un evento aleatorio, porque su ocurrencia depende solo y solo del caso.
Supongamos que tenemos una urna con diez bolas, numeradas del 1 al 10, y consideramos el evento aleatorio que consiste en la extracción de una sola bola. Estamos interesados en el número de la bola extraída, por lo que nos referimos al espacio de la muestra
– Pallin Extracción número 3 o número 5
– Extracción de una pelota con un número uniforme, que en nuestro espacio de muestra corresponde a
– Extracción de Palline número 12, que en nuestro espacio de muestra corresponde al conjunto vacío
– Extracción de Palline número 15 o número 20, que en nuestro espacio de muestra corresponde al conjunto vacío
– Extracción de una pelota con cualquier número natural impresionado anteriormente, que en nuestro espacio de muestra se reduce a sí mismo
Estos ejemplos destacan cómo cada evento en un espacio de muestra se puede expresar de muchas maneras diferentes (en realidad infinitas), también mediante conjuntos de resultados que no son necesariamente posibles.
Un conjunto de resultados no necesariamente posibles no es un evento, sino que siempre corresponde a un evento; Lo que importa es pensar en el contexto del espacio muestral, los posibles resultados y los eventos.
¿Cuál es el espacio muestral de lanzar 3 dados?
Cada elemento en el espacio muestral puede representarse por el triple $ (b, g, g, r) $, donde $ b $ representa el resultado en el dado azul, $ g $ representa el resultado en el dado verde y $ r $ representa el resultado en el dado rojo. Dado que $ B, G, R in {1, 2, 3, 4, 5, 6 } $, hay seis valores posibles para cada una de las tres entradas. Por lo tanto, el tamaño del espacio muestral es de $ 6^3 = 216 $.
En los comentarios, preguntó por qué usamos diferentes colores para los dados. Si usáramos tres dados blancos, habría
$$ binom {6} {1} + binom {2} {1} binom {6} {2} + binom {6} {3} $$
Resultados distinguibles. El primer término representa el número de resultados en los que los tres dados muestran el mismo valor. El segundo término representa el número de resultados en el que dos dados muestran un valor y el otro dado muestra un valor diferente. El factor de $ binom {6} {2} $ representa los dos valores mostrados por los tres dados. El factor $ binom {2} {1} $ representa las dos formas en que uno de esos dos valores puede aparecer dos veces. El tercer término representa el número de resultados en los que los tres dados muestran valores diferentes.
No usamos este espacio de muestra ya que los resultados no son igualmente probables. Cada uno de los seis resultados en los que los tres dados muestran el mismo valor pueden ocurrir de una sola manera. Sin embargo, cada uno de los resultados de $ 30 $ en los que dos de los dados muestran un valor y el otro dado muestra un valor diferente de tres maneras y cada uno de los resultados de $ 20 $ en los que los dados muestran tres valores diferentes pueden ocurrir en $ 3. = 6 $ formas. Darse cuenta de
$$ binom {6} {1} + 3 cdot binom {2} {1} binom {6} {2} + 6 cdot binom {6} {3} = 216 $$
¿Cuántos resultados se obtienen al lanzar 3 dados?
Para los casos favorables: dado que los dados pueden asumir valores enteros entre $ 1 $ y $ 6 $, deseamos encontrar el número de soluciones en los enteros positivos de la ecuación
$$ x_1 + x_2 + x_3 = 11 tag {1} $$
Sujeto a las restricciones de que $ x_k leq 6 $ por $ 1 leq k le 3 $.
Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la colocación de dos signos de adición en los diez espacios entre los sucesivos en una fila de once. Por ejemplo,
$$ 1 1 1 1 1 + 1 1 + 1 1 1 1 $$
corresponde a la solución $ x_1 = 5 $, $ x_2 = 2 $ y $ x_3 = 4 $. Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación 1 en los enteros positivos es la cantidad de formas en que podemos seleccionar dos de los diez espacios entre los sucesivos en una fila de once en los que colocar signos adicionales, que es
$$ binom {10} {2} $$
En general, la ecuación
$$ x_1 + x_2 + cdots + x_k = n $$
posee
$$ binom {n – 1} {k – 1} $$
Soluciones en los enteros positivos ya que debemos elegir qué $ K – 1 $ de los espacios $ N – 1 $ entre los sucesivos seguidos de $ N $ se llenarán con señales de suma.
Sin embargo, hemos contado soluciones en las que una de las variables supera los $ 6 $. Tenga en cuenta que no es posible que dos de las variables excedan $ 6 $ simultáneamente desde $ 2 cDot 7 = 14> 11 $.
Por lo tanto, el número de soluciones permitidas es
$$ binom {10} {2} – binom {3} {1} binom {4} {2} $$
Anexo: Preguntaste sobre las sumas de $ 3 $ a $ 18 $. Si $ 3 leq n leq 8 $, entonces el número de soluciones de la ecuación
$$ x_1 + x_2 + x_3 = n tag {3} $$
En los enteros positivos con $ x_k leq 6 $ por $ 1 leq k leq 3 $ is
$$ binom {n – 1} {3 – 1} = binom {n – 1} {2} $$
Dado que no es posible que una de las variables supere los $ 6 $.
¿Qué es un espacio muestral de 3 ejemplos?
Este principio también se puede utilizar para calcular los resultados totales en un espacio muestral para más de dos eventos.
Por ejemplo, suponga que un cajón aleatorio contiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones diferentes y 2 calcetines diferentes. Si seleccionamos aleatoriamente un artículo de ropa cada uno sin mirar, el número total de atuendos posibles se calcularía como:
Cuando el número de resultados en un espacio de muestra es grande, puede ser útil construir un diagrama de árbol para visualizar las diferentes combinaciones de resultados.
Por ejemplo, suponga que un armario contiene 2 camisas diferentes, 2 pantalones diferentes y 2 calcetines diferentes. Si seleccionamos aleatoriamente un artículo de ropa cada uno sin mirar, el número total de atuendos posibles podría visualizarse como:
Este diagrama nos ayuda a visualizar los ocho resultados potenciales diferentes en el espacio de la muestra.
También podemos usar el principio de conteo fundamental para confirmar que debería haber ocho resultados diferentes:
Resultados totales = 2 camisas * 2 pantalones * 2 calcetines = 8 atuendos posibles
Una vez que hemos identificado el espacio de muestra de algún experimento, podemos calcular la probabilidad de que ocurra algún evento utilizando la siguiente fórmula:
Por ejemplo, supongamos que tiramos un dados una vez. El espacio de muestra se puede escribir como:
Si definimos el evento A como el aterrizaje en dados en el número «2», entonces el espacio muestral del evento A se puede escribir como:
Si definimos el evento A como los dados que aterrizan en un número uniforme, entonces el espacio muestral del evento A se puede escribir como:
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¿Cuál es el espacio muestral de una moneda?
A
espacio muestral
es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cuando arrojas una moneda, solo hay dos posibles resultados.
(
H
)
o colas
(
T
)
Entonces, el espacio de muestra para el experimento de lanzamiento de monedas es
{
H
,
T
}
.
Ningún
subconjunto
de posibles resultados para un experimento se conoce como un
evento
. Cuando un evento es un solo elemento del espacio muestral, puede llamarse
evento simple
.
{
H
}
y
{
T
}
son eventos simples para el experimento de lanzamiento de monedas.
Para el rodamiento de un solo dado, especifique
(
1
)
el espacio muestral del experimento;
(
2
)
el evento que un número menos de
4
resultados y
(
3
)
el evento que resulta un número par.
¿Cómo sacar el espacio muestral de una moneda y un dado?
Veamos directamente al explicar más a lo que es un espacio de muestra.
Puede recordar que la probabilidad es el estudio del azar. Por ejemplo, si arroja un dado, tiene una probabilidad de 50-50 de tener un cabeza. También puedes conseguir una cola. El resultado de una cabeza y el resultado de una cola juntas constituyen el espacio muestral de este experimento. Así, concluimos:
Un espacio de muestra es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
Por lo general, nombramos este set S. Entonces, de nuestro experimento mencionado anteriormente tenemos
Tenga en cuenta que, dado que es un conjunto, el espacio de muestra se escribe utilizando la notación de conjunto. Los siguientes ejemplos indican el espacio muestral de los experimentos dados.
Experimento 1: Elegir entre los símbolos en un mazo de cartas
Ahora que entendemos qué es un espacio de muestra, necesitamos explorar cómo se encuentra. Es posible que haya tenido una idea de los ejemplos anteriores, así que siga leyendo para aprender más estrategias útiles para encontrar un espacio muestral.
Para determinar el espacio de muestra de un experimento, enumeramos todos los resultados posibles del experimento.
Es posible que haya notado que el espacio de muestra se encuentra en enumerar todos los resultados posibles del experimento. Veamos ahora algunos casos en los que el espacio de la muestra no es tan obvio.
Observe que el número de frutas individuales no afectó el número total de resultados posibles. Esto se debe a que este experimento es uno en el que elegimos una sola fruta de la canasta. Aquí podemos elegir una manzana, una pera, un plátano o una naranja. No podemos elegir una fruta que la canasta no contenga, y solo estamos recogiendo una fruta.
¿Qué es el espacio muestral y ejemplos?
Cuando se trata de cualquier tipo de pregunta de probabilidad, el espacio de muestra representa el conjunto o recopilación de todos los resultados posibles. En otras palabras, es una lista de cada resultado posible al ejecutar el experimento solo una vez. Por ejemplo, en un rollo de dado, un 1, 2, 3, 4, 5 o 6 podría surgir. Cada uno de estos se considera resultados y juntos forman un espacio muestral. En la siguiente lección, analizaremos la notación utilizada para un espacio de muestra, así como algunos ejemplos de encontrar el espacio de muestra para un experimento de probabilidad.
Los espacios de muestra generalmente se escriben utilizando notación establecida. Esto significa que cada posibilidad se enumera solo una vez dentro de los soportes rizados. Por ejemplo, si hubiera tres posibilidades, escribiríamos el espacio de la muestra como:
(S = { text {resultado 1}, text {resultado 2}, text {resultado 3} } )
Muchas veces, los resultados se escribirán en algún tipo de taquigrafía. No es necesario usar abreviatura al escribir las posibilidades, pero si lo hace, asegúrese de que la taquigrafía sea fácil de seguir. Por ejemplo, supongamos que volteamos una moneda. Las posibilidades son «cabezas» y «colas» que podrían escribirse como «H» y «T». Usando esto, el espacio de muestra sería:
Con cualquier tipo de experimento de probabilidad, describir el espacio de muestra solo requiere pensar cuidadosamente sobre todas las posibilidades y asegurarse de que no se pierda nada. Puede ver este tipo de pensamiento en los ejemplos a continuación.
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