La notación de suma puede usarse no solo con variables únicas, sino con expresiones algebraicas que contienen más de una variable. Cuando se encuentran estas expresiones, se debe prestar considerable atención a donde se encuentran los paréntesis. Si los paréntesis se encuentran después del signo de suma, entonces la regla general es: hacer la operación algebraica y luego suma. Por ejemplo, suponga que una pequeña porción del libro de grado de un maestro aparece de la siguiente manera, donde X es el puntaje de First e Y es el puntaje para la segunda tarea.
La suma del producto de las dos variables podría escribirse:
La suma anterior puede calcularse más fácilmente creando una tercera columna en la tabla de datos anterior:
Tenga en cuenta que un cambio en la posición de las paréntesis cambia drásticamente los resultados:
Se realiza un tipo similar de diferenciación entre
y
. En la primera, la suma sería 223, mientras que el segundo sería 332 o 1089.
En una expresión algebraica con un signo de suma, si los paréntesis se encuentran después del signo de suma hacen la operación algebraica y luego suma. Sume los productos y luego realice la operación algebraica. Ignore el signo de suma y cancele los términos similares. Invierta el orden de los términos, multiplique y elimine el signo de suma.
Tres excepciones a la regla general proporcionan la base para que se discutan más adelante la simplificación y las propiedades estadísticas. Las tres excepciones son:
1. Cuando la expresión que se sume contiene un «+» o «-» en el nivel más alto, entonces el signo de suma puede tomarse dentro de los paréntesis. La regla puede estar escrita de manera más concisa:
Calcula a ambos lados de una tabla con rendimientos de datos de ejemplo:
¿Qué significa el símbolo ∑?
«Somme, para variar de 1 a N, de U Index K».
Es esencial entender que la suma absolutamente no depende de esta razón, este símbolo está calificado como «silencioso». Concretamente, esto significa que puede ser reemplazado por cualquier otro símbolo… ¡que aún no se usa en el contexto del cálculo!
Volvamos al caso general. En lugar de la calificación, se puede usar una de las dos variantes siguientes:
La escritura se generaliza fácilmente en el que yo es un conjunto terminado y no vacío (y dónde, para todo designa un número complejo).
Tenga en cuenta que, por escrito, nada indica la forma en que se agregan los términos. Pero no es importante, ya que la adición de números complejos es una operación conmutativa y asociativa. La comunicación le permite modificar el orden de los términos sin afectar el total, mientras que la asociatividad dice que los diferentes padres posibles son equivalentes.
Una forma más exitosa de expresar la equivalencia de diferentes crianza de los hijos es la siguiente. Si dividimos I en subconjuntos (lo que significa que no están vacíos, dos o dos disjuntos y que su unión es i), entonces (fórmula general de asociación):
Agreguemos que, por convención, una suma de números complejos indexados por el todo vacío es cero. Este acuerdo tiene el mérito de mantener la fórmula general de asociatividad, incluso si ciertos subconjuntos están vacíos.
Ahora pasemos a las reglas utilizadas en la práctica para manejar las sumas.
¿Qué quiere decir ∑?
Este capítulo está en primer lugar dedicado a la noción fundamental de general, que aparece en todas las ramas de las matemáticas. Los conjuntos particulares como $ mathbb {n} $ y $ mathbb {r} $ se definen y el significado de los diversos símbolos, como $ en $, $ subseteq $, $ cap $, $ forall $, $ Existe $, $ suma $, $ prod $ se da.
Hay dos formas de definir un todo particular:
- Se puede definir en extensión, lo que significa que damos directamente la lista de sus elementos entre abrazos. Por ejemplo, $ a = izquierdo {1, 2, 3 right } $ significa que $ 1, 2, 3 en $ y que ningún otro objeto pertenece a $ A $.
- También podemos definirlo en la comprensión, lo que significa que damos una propiedad que caracteriza los elementos del todo. Por ejemplo, podemos definir $ B $ como enteros estrictamente positivos. También puede definir $ C $ como todos los elementos de $ B $ que son menores o iguales a $ 5 $ escribiendo:
$$ c = left {x in b mid x leq 5 right } $$ - Un conjunto se puede terminar, es decir, tiene un número de elemento finito o infinito.
Si el conjunto $ a $ está terminado, su número de artículos se llama cardenal y se observa $ #a $ o $ | a | $. - También podemos definir la relación de inclusión entre dos conjuntos. Un conjunto se incluye en otro si todos los elementos pertenecientes al primero también pertenecen al segundo.
La inclusión de $ a $ en $ b $ está escrita $ a subseteq b $. También escribimos $ a subset b $ cuando $ a subseteq b $ y que $ a neq b $. (NB: Esta última notación no es utilizada por todos y sucede que algunos autores escriben $ A subconjunto B $ cuando significan $ A Subseteq B $. Dicho esto, esta posible confusión no se relaciona con el resultado).
Entonces tenemos $ {1,3 } subseteq {1,3 } $ pero $ {1,3 } no subset {1,3 } $. Además, $ {1,2 } subseteq {1,2.3 } $ pero $ {1,2 } no subseteq {1,3 } $ porque $ 2 nonin {1, 3 ps - Union of Two Sets $ A $ y $ B $, señalado $ A Cup B $, es el conjunto de artículos que pertenecen a $ A $ o $ B $.
En otras palabras, es el conjunto más pequeño de $ C $, de modo que $ A Subseteq C $ y $ B Subseteq C $.
Por ejemplo, $ {1,2 } cup {1,3 } = {1,2.3 } $. - La intersección de dos conjuntos $ A $ y $ B $, señaló $ A Cap B $, es el conjunto de artículos que pertenecen a $ A $ y $ B $ a la vez.
En otras palabras, es el mayor conjunto de $ C $, de modo que $ C Subseteq A $ y $ C Subseteq B $.
Por ejemplo, $ {1,2 } cap {1,3 } = {1 } $. - La diferencia en dos conjuntos $ A $ y $ B $, señaló $ A Setminus B $, es el conjunto de artículos que pertenecen a $ A $ pero no pertenecen a $ B $.
En otras palabras, es el mayor conjunto $ C $, de modo que $ C subseteq a $ y $ c cap b $ está vacío.
Por ejemplo, $ {1,2 } setminus {1,3 } = {2 } $. - El complementario de un conjunto $ a $, señalado $ a^c $ o a veces $ overline {a} $, es intuitivamente todos los elementos que no pertenecen a $ a $. Pero para poder definir este concepto rigurosamente, primero es necesario ubicarnos en un conjunto más grande $ u $ (generalmente fijado por el contexto) que se llama universo. Entonces se dice que estos son todos los elementos de $ u $ que no pertenecen a $ A $.
Por ejemplo, si $ u = {1,2.3 } $, $ {1,2 }^c = {3 } $. - $ Showyset $ es el conjunto vacío, es un conjunto que no contiene ningún elemento. Podríamos definirlo por extensión por $ showyset = {} $.
- $ Mathbb {n} $ es el conjunto de naturales, es decir, todos los números positivos: $ 0.1,2.3, ldots $
- $ Mathbb {r} $ es el conjunto real. Incluye todos los números positivos y negativos, completos y no completos. Hay dos tipos de números reales: racionales e irracionales.
- $ Mathbb {Q} $ es el conjunto de racionales, incluye todos los reales que se pueden escribir en forma de una fracción de dos enteros.
Por ejemplo, $ 0.5 $ es racional porque vale $ frac {1} {2} $ que es una fracción cuyo numerador y el denominador son completos. Sin embargo, los números $ sqrt {2} $ y $ pi $ son irracionales (es decir, que no son racionales), aunque no es fácil demostrarlo rigurosamente.
Las modificaciones a veces se aplican a estos conjuntos, como retirar $ 0 o considerar solo números negativos o positivos.
- Se puede definir en extensión, lo que significa que damos directamente la lista de sus elementos entre abrazos. Por ejemplo, $ a = izquierdo {1, 2, 3 right } $ significa que $ 1, 2, 3 en $ y que ningún otro objeto pertenece a $ A $.
- También podemos definirlo en la comprensión, lo que significa que damos una propiedad que caracteriza los elementos del todo. Por ejemplo, podemos definir $ B $ como enteros estrictamente positivos. También puede definir $ C $ como todos los elementos de $ B $ que son menores o iguales a $ 5 $ escribiendo:
$$ c = left {x in b mid x leq 5 right } $$ - Un conjunto se puede terminar, es decir, tiene un número de elemento finito o infinito.
Si el conjunto $ a $ está terminado, su número de artículos se llama cardenal y se observa $ #a $ o $ | a | $. - También podemos definir la relación de inclusión entre dos conjuntos. Un conjunto se incluye en otro si todos los elementos pertenecientes al primero también pertenecen al segundo.
La inclusión de $ a $ en $ b $ está escrita $ a subseteq b $. También escribimos $ a subset b $ cuando $ a subseteq b $ y que $ a neq b $. (NB: Esta última notación no es utilizada por todos y sucede que algunos autores escriben $ A subconjunto B $ cuando significan $ A Subseteq B $. Dicho esto, esta posible confusión no se relaciona con el resultado).
Entonces tenemos $ {1,3 } subseteq {1,3 } $ pero $ {1,3 } no subset {1,3 } $. Además, $ {1,2 } subseteq {1,2.3 } $ pero $ {1,2 } no subseteq {1,3 } $ porque $ 2 nonin {1, 3 ps - Union of Two Sets $ A $ y $ B $, señalado $ A Cup B $, es el conjunto de artículos que pertenecen a $ A $ o $ B $.
En otras palabras, es el conjunto más pequeño de $ C $, de modo que $ A Subseteq C $ y $ B Subseteq C $.
Por ejemplo, $ {1,2 } cup {1,3 } = {1,2.3 } $. - La intersección de dos conjuntos $ A $ y $ B $, señaló $ A Cap B $, es el conjunto de artículos que pertenecen a $ A $ y $ B $ a la vez.
En otras palabras, es el mayor conjunto de $ C $, de modo que $ C Subseteq A $ y $ C Subseteq B $.
Por ejemplo, $ {1,2 } cap {1,3 } = {1 } $. - La diferencia en dos conjuntos $ A $ y $ B $, señaló $ A Setminus B $, es el conjunto de artículos que pertenecen a $ A $ pero no pertenecen a $ B $.
En otras palabras, es el mayor conjunto $ C $, de modo que $ C subseteq a $ y $ c cap b $ está vacío.
Por ejemplo, $ {1,2 } setminus {1,3 } = {2 } $. - El complementario de un conjunto $ a $, señalado $ a^c $ o a veces $ overline {a} $, es intuitivamente todos los elementos que no pertenecen a $ a $. Pero para poder definir este concepto rigurosamente, primero es necesario ubicarnos en un conjunto más grande $ u $ (generalmente fijado por el contexto) que se llama universo. Entonces se dice que estos son todos los elementos de $ u $ que no pertenecen a $ A $.
Por ejemplo, si $ u = {1,2.3 } $, $ {1,2 }^c = {3 } $. - $ Showyset $ es el conjunto vacío, es un conjunto que no contiene ningún elemento. Podríamos definirlo por extensión por $ showyset = {} $.
- $ Mathbb {n} $ es el conjunto de naturales, es decir, todos los números positivos: $ 0.1,2.3, ldots $
- $ Mathbb {r} $ es el conjunto real. Incluye todos los números positivos y negativos, completos y no completos. Hay dos tipos de números reales: racionales e irracionales.
- $ Mathbb {Q} $ es el conjunto de racionales, incluye todos los reales que se pueden escribir en forma de una fracción de dos enteros.
Por ejemplo, $ 0.5 $ es racional porque vale $ frac {1} {2} $ que es una fracción cuyo numerador y el denominador son completos. Sin embargo, los números $ sqrt {2} $ y $ pi $ son irracionales (es decir, que no son racionales), aunque no es fácil demostrarlo rigurosamente.
Cuando varios conjuntos son iguales en el producto cartesiano, la notación exponencial se usa para acortar. Por ejemplo, todas las parejas de $ mathbb {n} times mathbb {n} $ también escrito $ mathbb {n}^2 $. Por lo tanto, también podemos escribir $ {-2, -1 }^2 = {(-2, -2), (-2, -1), (-1, -2), (-1, -1 ps
¿Cómo se llama el símbolo ∑?
- Imaginal: Descartes (1596-1650), 1637
- Módulo: Argand (1768-1822, Suiza), 1806
- Argumento: Cauchy (1789-1857), 1838
- Número complejo: Gauss (1777-1855), 1831
- Número N (Z) cuadrado del módulo: Gauss (1777-1855), 1831
- Notación | Z | Para el módulo: K.WaiStrass (1815-1897)
- Notación I: Euler (1707-1783), 1777, tomada por Gauss (1777-1855)
- Representación geométrica de complejos: el Wessel danés (1745-1818) en 1798 y el Argand suizo (1768-1822) en 1806 propuso esta representación, sin demasiado eco. Fue Gauss (1777-1855) quien exhibe la teoría y Cauchy (1789-1857) quien lo transmite. [DADAPE] P125
Los símbolos DX, DY y DX/DY son introducidos por Wilhelm Leibniz (1646-1716) en un manuscrito de 1675.
Las clasificaciones f ‘(x) para el primer derivado, f’ ‘(x) fpur el segundo derivado, etc., son introducidos por Joseph Louis Lagrange (1736-1813). En 1797, en teoría de funciones analíticas, usóf’x y f’x. Pero en un nuevo método para resolver las ecuaciones literales por medio de la serie (1770) utiliza la notación ψ ‘.
En 1772, el matemático francés Lagrange Joseph Louis (1736-1813) escribe u ‘= du/dx y du = u’dx en «en una nueva especie de cálculo relacionada con la diferenciación y la integración de cantidades variables».
DX es introducido allí por Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) en «calcular las derivaciones y sus usos en la teoría de las consecuencias y en el cálculo diferencial» (1800). También fue utilizado por Jean Bernoulli.
¿Cómo se hace la sumatoria?
Desde una visión astronómica, los equinoccios y solsticios serían la mitad de las temporadas respectivas, [1] [2] pero a veces el verano astronómico se define como a partir del solsticio, el tiempo de insolación máxima, a menudo identificada con el día 21 de junio de junio o diciembre. Por el cálculo solar, el verano comienza el día de mayo y el solsticio de verano es medio verano. Un retraso estacional variable significa que el centro meteorológico de la temporada, que se basa en patrones de temperatura promedio, ocurre varias semanas después del tiempo de insolación máxima. [3]
La Convención Meteorológica es definir el verano que comprende los meses de junio, julio y agosto en el hemisferio norte y los meses de diciembre, enero y febrero en el hemisferio sur. [4] [5] Según las definiciones meteorológicas, todas las estaciones están configuradas arbitrariamente para comenzar al comienzo de un mes calendario y terminar al final de un mes. [4] Esta definición meteorológica de verano también se alinea con la noción comúnmente vista de verano como la temporada con los días más largos (y más cálidos) del año, en los que predomina la luz del día.
El cálculo meteorológico de las estaciones se utiliza en países como Australia, Nueva Zelanda, Austria, Dinamarca, Rusia y Japón. También es utilizado por muchas personas en el Reino Unido y Canadá. En Irlanda, los meses de verano según el Servicio Meteorológico Nacional, Met Éireann, son junio, julio y agosto. Por el calendario irlandés, el verano comienza el 1 de mayo y termina el 1 de agosto. Los libros de texto escolar en Irlanda siguen la norma cultural del verano que comienza en 1 de mayo en lugar de la definición meteorológica del 1 de junio.
Los días continúan alargándose desde el equinoccio hasta el solsticio y los días de verano se acortan progresivamente después del solsticio, por lo que el verano meteorológico abarca la acumulación del día más largo y una disminución posterior, y el verano tiene muchas más horas de luz del día que la primavera. Continuar solo por horas de luz del día, el solsticio de verano marca el punto medio, no el comienzo, de las estaciones. Midsummer tiene lugar durante la noche más corta del año, que es el solsticio de verano, o en una fecha cercana que varía con la tradición.
Cuando un retraso estacional de media temporada o más es común, el cálculo basado en marcadores astronómicos se cambia media temporada. [6] Según este método, en América del Norte, el verano es el período desde el solsticio de verano (generalmente el 20 o 21 de junio en el hemisferio norte) hasta el equinoccio de otoño. [7] [8] [9]
¿Cómo escribir en forma de sumatoria?
«No se puede resumir nada hermoso», escribió Paul Valéry… ¡y estaba equivocado! ¡Escribir un buen resumen de su libro no solo es posible sino también necesario si desea convencer a los lectores de que vaya más allá y lo compre! Con la cobertura, el título y el premio, es el cuarto elemento clave de la estrategia de marketing de su autor.
Una vez que haya puesto el punto final de su novela, no se embarque de inmediato al escribir el resumen. Es tentador comenzar de inmediato, la historia todavía está fresca en tu cabeza. Pero deberá dar un paso atrás para escribirlo sin decir demasiado.
Su primer objetivo: salir de su autor para ponerlo en el de sus futuros lectores. De hecho, para ser efectivo, debe escribir su resumen poniéndose en el lugar de sus lectores. Para hacer esto, guarde su manuscrito, olvídalo durante 48 horas y salga a caminar. Es con un nuevo aspecto que luego abordará la escritura de su resumen.
¿Por qué los lectores leen los resúmenes? Para saber si la historia del libro los hace querer, si el estilo del autor los agrada y, por supuesto, si compran el libro.
Así que cuide el comienzo de su resumen, su agarre. La primera línea debe ser impactante y hacer que quieras leer más. Las primeras palabras deben desafiar al lector, ya sea cuestionándolo o intrigándolo. Para hacer esto, olvide las oraciones extendidas o las oraciones demasiado descriptivas.
¿Cómo se hace una sumatoria?
Para resumir mejor un texto, debe comprender sus ideas esenciales, su sistema de enunciación y sus articulaciones lógicas.
La estructura de un texto corresponde a la organización lógica de sus ideas. La división a menudo se destaca en párrafos y por la presencia de palabras de enlace (conjunciones de subordinación y coordinación, adverbios,…).
La evolución de las ideas de texto también está subrayada por los cambios de vocabulario. El conjunto de términos relacionados con la misma idea se llama red léxica, de manera cercana o más distante.
De la misma manera que es importante identificar las ideas esenciales y el sistema de enunciación de un texto, es necesario identificar la forma en que las ideas y palabras que las expresan lógicamente se articulan.
La siguiente tabla resume las diferentes palabras de enlace, su naturaleza, su significado y el enlace lógico que subrayan.
Para identificar la evolución lógica de un texto, use los siguientes tres elementos:
- La división del párrafo
- redes léxicas
- Articulaciones lógicas
La división del párrafo se observa fácilmente. Si los párrafos son numerosos y cortos, no los mantenga en el resumen: integre con lo anterior o lo que sigue.
Las redes léxicas se analizan a partir de los campos léxicos y la reanudación de términos que tratan con el mismo tema.
Las juntas lógicas se pueden presentar en varias formas:
- La división del párrafo
- redes léxicas
- Articulaciones lógicas
¿Cómo se calcula la sumatoria de un número?
En matemáticas, una serie de números puede representar muchas cosas diferentes, desde dominios de funciones y rangos hasta datos importantes de sistemas informativos. Las operaciones típicas realizadas en una serie de números incluyen cálculos medios y medios y reconocimientos de patrones. Se han desarrollado diferentes técnicas de suma de número simple para evitar tener que agregar laboriosamente cada número a la suma descubierta anterior. Las metodologías se basan en características básicas de conjuntos de números, incluidos patrones de números consecutivos y crecimiento constante.
Escriba la lista de números en una línea. Por ejemplo, si los números son uno a 10, escriba los números uno a 10. En la línea debajo, escriba los números en orden inverso.
Agregue cada columna de números de dos niveles. Las sumas deberían ser las mismas. Agregar uno y 10 juntos deberían ceder 11. Agregar dos y nueve juntos también debe ceder 11.
Multiplique la cantidad de números en la serie por la suma obtenida de cada adición de columna. Por ejemplo, multiplica 10, la cantidad de números de uno a 10, por la suma promedio de 11, obteniendo 110.
Divida el producto por dos. Por ejemplo, divide, 110 por dos. Esto dará como resultado 55. Esta es la suma de los números dados.
Cuadrado tanto el primer y último número de la secuencia. Por ejemplo, si los números son uno a 10, cuadrado 10, que le dan 100 y un cuadrado, dándole 1.
Resta el primer cuadrado del último. Por ejemplo, reste uno de 100, dándote 99.
¿Cómo calcular la sumatoria de los números naturales?
La suma Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ también es – + 1/12. Ramanujan escribió en su segunda carta a G. H. Hardy, fechada el 27 de febrero de 1913:
La suma de Ramanujan es un método para aislar el término constante en la fórmula Euler -Maclaurin para las sumas parciales de una serie. Para una función F, la suma clásica de Ramanujan de la serie ∑k = 1∞f (k) { DisplayStyle TextStyle Sum _ {k = 1}^{ infty} f (k)} se define como
donde F (2K-1) es el derivado (2k-1) -th de F y B2K es el número 2K-th Bernoulli: B2 = 1/6, B4 =-+1/30, y así sucesivamente. Configurar f (x) = x, la primera derivada de F es 1, y cualquier otro término desaparece, por lo que [15]
Para evitar las inconsistencias, la teoría moderna de la suma de Ramanujan requiere que F sea «regular» en el sentido de que las derivadas de orden superior de F decayan lo suficientemente rápido para los términos restantes en la fórmula Euler-Maclaurin para que tendir a 0. Ramanujan asumió esto tácitamente propiedad. [15] El requisito de regularidad evita el uso de la suma de Ramanujan en la serie espaciada como 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, porque ninguna función regular toma esos valores. En cambio, dicha serie debe ser interpretada por la regularización de la función Zeta. Por esta razón, Hardy recomienda «gran precaución» al aplicar las sumas de Ramanujan de series conocidas para encontrar las sumas de series relacionadas. [16]
¿Cuánto es la sumatoria de 1 a 100?
¿Cuál es el resultado de la suma de números del 1 al 100? Esta es la pregunta de que, según la leyenda, hizo el maestro de Carl Friedrich Gauss al propio Gauss cuando tenía 8 años, pensando en mantenerlo ocupado por un tiempo. La respuesta, por otro lado, fue inmediata del niño: 5050.
Dado que los números agregados son dobles, la suma de los primeros 100 números naturales será de 100.
Por ejemplo, ¿cuánto cuesta la suma de los primeros 50 números naturales, de 1 a 50? La regla de Gauss sugiere tomar el último problema (50, en este caso), multiplíquelo por el siguiente (es decir, 51) y hacer la mitad. Entonces 1+2+3+…+48+49+50 = 50×51: 2 = 1275. ¿Cómo se calcula la suma de los primeros n números? Este último es el de los primeros números naturales que se calculará simplemente aplicando la siguiente y simple fórmula: S (n) = n per (n más 1) / 2, donde s (n) indica la suma deliberada.
Por ejemplo, si tiene que agregar los primeros 200 números completos, tendrá que agregar a los demás elementos 200 + 1, eso es 201. Si tiene que agregar los números de 1 a 12 juntos, tendrá que agregar 12 + 1 elementos, eso es 13. teniendo en cuenta esto, ¿cuánto hace la suma de los números 1 a 10? Aplicamos la fórmula general s = n (n+1)/2 a los diferentes casos: caso de la suma de 1 a 10: s = 10 (10+1)/2 = 110/2 = 55. Caso N = 100: 100 (100+1)/2 = 10100/2 = 5050.
Dado que los números agregados son dobles, la suma de los primeros 100 números naturales será.
¿Cuánto es la suma de los números del 1 al 100?
La suma de todos los números naturales de 1 a 100 es 5050. El número total de números naturales en este rango es 100. Entonces, al aplicar este valor en la fórmula: S = N/2 [2A + (N – 1) × D ], obtenemos S = 5050.
El promedio de los números naturales 1 a 100 es 100. Esto se calcula utilizando la fórmula del promedio, que establece que el promedio = suma de todos los valores/número total de valores. Aquí, la suma de valores es 5050 y el número total de números naturales de 1 a 100 es 100. Entonces, promedio = 5050/100 = 50.5. Por lo tanto, 50.5 es el promedio de los números naturales 1 a 100.
100 es el número natural más grande en la lista de números naturales del 1 al 100. El siguiente número natural será 101, que es mayor que 100. Por lo tanto, 100 es el mayor número natural en la lista de números pares 1 a 100.
La lista de números naturales 1 a 100 está bien organizada en una secuencia aritmética. Por lo tanto, podemos simplemente usar la fórmula de la suma de n términos en la progresión aritmética, es decir s = n/2 [2a + (n – 1) × d], para calcular la fórmula para la suma de los números naturales.
¿Cómo calcular del 1 al 100?
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) es uno de los matemáticos más grandes e influyentes de todos los tiempos. Hizo muchas contribuciones a los campos de las matemáticas y la ciencia y se ha denominado Princeps Mathematicorum (latín para ‘el principal de los matemáticos). Sin embargo, una de las historias más interesantes sobre Gauss proviene de su infancia.
La historia cuenta que el maestro de escuela primaria de Gauss, siendo el tipo perezoso, decidió mantener la clase ocupada haciendo que resuman todos los números de 1 a 100. Con cien números para sumar (sin calculadoras en el siglo XVIII). El maestro pensó que esto mantendría la clase ocupada durante bastante tiempo. Sin embargo, no había considerado la capacidad matemática del joven Gauss, quien solo unos segundos más tarde regresó con la respuesta correcta de 5050.
Gauss se había dado cuenta de que podía hacer la suma mucho más fácil agregando los números en parejas. Agregó el primero y el último número, el segundo y el segundo a los últimos números, y así sucesivamente, notando que estos pares 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. todos dieron la misma respuesta de 101. Volviendo todo el La forma de 50 + 51 le dio cincuenta pares de 101 y una respuesta de 50 × 101 = 5050.
Se desconoce si esta historia es realmente cierta o no, pero de cualquier manera da una visión fantástica de la mente de un matemático extraordinario y una introducción a un método más rápido de agregar secuencias aritméticas (secuencias de números formados por el aumento o disminución del mismo número cada vez).
En primer lugar, veamos lo que sucede para sumar secuencias como Gauss’s, pero para cualquier número dado (no necesariamente 100). Para esto podemos expandir el método de Gauss de manera bastante simple.
¿Cómo sumar 100 números consecutivos?
La suma de los enteros de $ 1 $ a $ n $ es $ dfrac {n (n+1)} {2} $. Por lo tanto, la suma de los enteros de $ m+1 $ a $ n $ es simplemente $ dfrac {n (n+1)} {2}- dfrac {m (m+1)} {2} $. Entonces, si la suma de los enteros de $ m+1 $ a $ n $ es $ n $, entonces
Por lo tanto, $ N-M $ y $ N+M+1 $ son factores complementarios de $ 2n $. Claramente, $ N-M $ es menor que $ N+M+1 $, y dado que $ (N+M+1)-(N-M) = 2m+1 $, los factores tienen una paridad opuesta.
Para cualquier $ f_1 $ y $ f_2 $ tal que $ 2n = f_1f_2 $, $ f_1> f_2 $ y $ f_1 $, $ f_2 $ tiene paridad opuesta, podemos resolver $ n+m+1 = f_1 $ y $ n-m = F_2 $ para obtener $ n = dfrac {f_1+f_2-1} {2} $ y $ m = dfrac {f_1-f_2-1} {2} $.
Por lo tanto, el número de formas de escribir $ n = (m+1)+(m+2)+ cdots+(n-1)+n $ es simplemente la cantidad de formas de factorizar $ 2n $ en dos enteros positivos distintos con Paridad opuesta.
Suponga $ 2n = 2^{k_0+1} p_1^{k_1} p_2^{k_2} cdots p_r^{k_r} $ donde $ p_1, p_2, ldots, p_r $ son primos extraños distintos. Hay $ (k_1+1) (k_2+1) cdots (k_r+1) $ formas de dividir los primos impares entre $ f_1 $ y $ f_2 $. Hay $ 2 $ formas de dar todos los $ 2 $ s a uno de los factores $ F_1 $, $ F_2 $. Sin embargo, necesitamos dividir por $ 2 $ ya que esto exagera los casos en los que $ F_1 Por lo tanto, si $ n $ tiene factorización prima $ n = 2^{k_0} p_1^{k_1} p_2^{k_2} cdots p_r^{k_r} $, entonces hay $ (k_1+1) (k_2+1) CDOTS (K_R+1) -1 $ formas de escribir $ N $ como la suma de dos o más enteros positivos consecutivos. Artículos Relacionados:
